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1、线性代数（理）课程综合复习资料一、单选题%x+X?=O1.齐次方程组2x2+x3=O有非零解的充分必要条件为3。%+AXj=0A.=1B.-lC.4=0D.20答案：A2.矩阵O222的秩为（）。J）OO0,A.1B.2C.3D.4答案:B3.假设7,%满足线性方程组AX=b,（AwO）,则下列说法正确的是（）。A.7+/仍然满足Ax=bB.7+%满足包=OC.7-%满足AX=bD.7一%满足AX=O答案：DO0、O O3 O4 4；则下列说法正确的是（）。口O224.设A=33J4A.A为可逆矩阵B.A为不可逆矩阵C.A为正交矩阵D.A为对称矩阵答案：A5.设A为阶可逆方阵，则下列说法不正确
2、的是（）。A.2A=2,B.2=2i*寸-M=H（AT表示A的转置）答案:B6.要使非齐次方程组O01 V1 X2“-2 JlX3,1 ）1有无穷多个解,63/必须（）。A.=2,b=3B.q=2,b3C.a2,b=3D. W 2, ?力 3A. a则它的一个最大无关组为（）。B.%,%C.ava2.a3D.%,/，a3，4答案：C任意的丘R任意的AER1的解可表示为()。O任意的AeRQ1D.j=A+任意的eR。答案：B9.设A为?x阶矩阵，则线性方程组Ar=6有解的充分必要条件为()。下面R（八）,R(A,b)分别表示矩阵A,增广矩阵(AS)的秩。.R（八）=mB.R（八）=几C.R(A,
3、b)=mD.R(A,b)=R（八）答案：D10.设A是阶可逆矩阵，A是伴随矩阵，则下列等式成立的是()。AM=a*BW4ca=WDMl=Kl答案:B11.设A,6为阶可逆方阵，则下列等式对任意都成立的是（）。下面的A*,A7分别表示A的伴随矩阵，转置矩阵。AA*=同B-M=HC.AB=BAD.（ABY=ABl答案：B12.设A为3阶方阵，且秩为2,另外/,%为Ar=A的两个线性无关的特解，则Ar=h的通解（即所有解）为（）。A.l+k（cti-1）j任意的化WRoB.Z%+（%-）,任意的keR。C.%+及%,任意的keR。D.kxa+k2a2任意的KwR*hwR。答案：A13.设向量组/,a
4、2，3线性无关，则下列说法错误的是（）。A.a,%线性无关B.%必定不能由2，3线性表示C.若A】+k2a2+&3%=，则必有匕=&=,=D.%,2，3三者中必有一个可以通过另外两个线性表示答案：D14.设3阶方阵A的特征多项式为ME-Al=（2+4）（储一1）,则IAl=（）。A.YB.-16C.4D.16答案:C15.若A为阶方阵，且同=0,则下列说法正确的是（）。A.A必有一列（或一行）元素全为零B.A必有两列（或两行）元素对应成比例C.A的任一列向量都可由其余列向量线性表示D.A中必有一个列向量可由其余列向量线性表示答案：D二、填空题4112613%3an1.设02|%2a23=G则2
5、?22a23=（）。答案：602.行列式出142a23中元素%的代数余子式为（）。答案：&233一3223Axl+X2+=03.若齐次方程组王+%+今=0有非零解，则左=（）。玉+2%+鼻=0答案：&=14.设矩阵a=（；bN则矩阵AAT的主对角线上的元素之和为（）。答案：3（2+2+c2）5.若向量。=2与；正交（即二者内积为零），则左=（）。G2仇一qC6若生b2c2=L则4生22-c2c2=OoJ7设1仇cq=a则O%仇3答案：-28.齐次方程组O、0O101O44么O2a11=0的通解（即所有解）可表示为（）。人AUl答案：-1,-1,1）:任意的kwR129.若J=1是矩阵213、3
6、的一个特征向量，则与彳对应的特征值；I为（）。2J答案：4=936J2-210若213-4答案：4=411.若%4瓦qG=0,则；I=（）。1,则+生a+HG+e23外33j=()o答案:602112.向量=0用=0,1,%=0线性表示的表达式为/=（）答案:n13.Cb答案:W=-2+5Qfjbcab/+bi+c3-3bc14.2阶方阵A=1133的逆矩阵为AT=Oo答案:/3-1215.设3阶方阵A的3个特征值为-3,2,5,则IAI=()。答案：-30三、计算题2001设A=03-1,求A的特征值及与特征值对应的特征向量。、0-13,4-200答案；WE-Al=0%-31=(2-2)2(
7、-4)01-3所以，特征值为/1=2,2,40 04 = 2时，(4E 0 -1P 1OUr 1元2OO,其解即对应的特征向量为仅1K O +& 1任意的K，a2 e R且左1，&2 2 04 = 4时，(；IE-A)X= 0 1、 1，0k 1 任意的AwR且k#01 2 0、2.已知矩阵A= 2 1 0、0 0 6；(1)求A的特征值；0)(V1X20、=0 ,其解即对应的特征向量为(2)求与最小特征值对应的全部特征向量。-l-20答案：PlE-Al=-22-10=(-6)(-3)(+1)004一6所以，(1)A的特征值为-1,3,6(2)最小特征值为l=T,其对应的特征向量满足方程组整理
8、，得天=0,$+w=0,因此，其一组基础解系为-1要求的全部特征向量为-1kR,且k/0v0对任意的$4/+%=3$+32+X3=6，讨论：3x+2%+aXj=b(1)a,b在什么情况下方程组无解？(2)a,b在什么情况下方程组有唯一解?(3),b在什么情况下方程组有无穷多解?答案:对增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯型413小+Jl413)丐一%-1413131607290729、32比由此得+、014a+3H9/、00-lb-9(1)=l,%:9时方程组无解：(2)l时方程组有唯一解；(3)a=l,=9时方程组有无穷多解。201、4.已知矩阵A=040JU勾(1)求A的特征值；(2)求与最小
9、特征值对应的全部特征向量。”2 O答案；UE-AI= 0-4-10-1o =-i)(-3)-4)4一2所以，(1) A的特征值为1,3,4(2)最小特征值为4 = 1,其对应的特征向量满足方程组整理,得2=0,X1+x3=0,因此，其一组基础解系为0,-1J要求的全部特征向量为左1、0,任意的ZeR5.求矩阵A =-11、1 -1的逆矩阵1。1j1答案：用初等行变换方法1(AE)= I11100010001 j5+4001000-1JJ0(PI1-111222-2-110Q1-1工2Q-010012120210L11也+号11001000110I2L2200所以AT=I 20100、16.讨论
10、：。取何值时非齐次方程组Ar =121231q + 2斗W3一2 ) L-vj J【0)(1)无解;(2)有唯一解；(3)有无穷多解。(12111答案:对增广矩阵进行初等行变换(A,b)=23a+2、1u221-1aO(+l)(-3)3。，1、1-3,所以，(1)=-l时无解(2)3,w-l时有唯一解(3)=3时有无穷多解7AfO021求A的特征值及与特征值对应的全部特征向量。Uoo0-1答案:WE-Al=-2丸12=(+l)U-020Z所以矩阵的特征值为l=-l,14=1时，(E-4)x=-2000,对应的非零解即特征向量为占0+&1任意的42GR且MA2#0,对应的非零解即特征向量为-UI
11、龙3 J I0/-104=1时，(丸E-A)X=-2-2】Tk2,任意的ZeR且XwO8.己知向量组/=112=n0、7，%=511,&=195aOQ(I)求向量组的秩；(2)求向量组的一个最大无关组。q10一211、10211、q10-2H17-190-31-2()3121I150-9360O00d-138,W-217-14,2000答案:、所以，(1)向量组的秩为2(2)向量组中任意两个都是一个最大无关组9.求行列式D=200242002的值。532答案：利用性质化为3阶行列式0401040222尸202-6210-J口-010-13-2203-2221D=35202110.设A=答案:0A2=200
