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1、复合函数的定义域和解析式一、复合函数的定义/(g(x)B 三,数。此函设=g(x)是A到8的函数，y=/()是8到C上的函数，且当取遍8中的元素时，y取遍C,那么y=/(g(x)就是4到C上的函数称为由外函数y=/(x)和内函数u=g(x)复合而成的复合函数。二、复合函数的定义域:复合函数的定义域，就是复合函数y=/(g(x)中X的取值范围。(2)X称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为g(x)的值域。/(g(x)与g(/(x)表示不同的复合函教。例1.设函数/(x)=2x+3,g(x)=3x-5,求/(g(x),g(/(X).假设/(x)的定义域为M，那么复合函数f(g(x)中，g(x)
2、wM注意：g(x)的值域MqA.例2.假设函数/(x)的定义域是O,1,求/(1一2公的定义域；假设/(2x-l)的定义域是-1,1,求函数/(x)的定义域:/(x+3)定义域是一4,5),求/(2x-3)定义域点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的.解答：函数/(1-2x)是由A至UB上的函数u=1-2x与B到C上的函数y=/(m)复合而成的函数.函数/(x)的定义域是0,1,.B=0,1,即函数=1-2X的值域为0,1.0l-2xl,-l-2x0,即0x4!,.函数f(l-2x)的定义域0,-.函数f(2x-1)是由A到B上的函数=2x-l与B
3、到C上的函数y=/(m)复合而成的函数.F(2x1)的定义域是T,1,A=-1,1,即TKxl,工32x-l1,即=2x1的值域是-3,1,.y=/(X)的定义域是-3,1.点评：假设/(x)的定义域为A,那么/g(x)的定义域就是不等式g(x)A的X的集合：假设/Ig(x)的定义域为A,那么/(x)的定义域就是函数g(x)(XGA)的值域。函数/(x+3)是由A到B上的函数N=X+3与B到C上的函数y=/3)复合而成的函数.(x+3)的定义域是-4,5),.A=-4,54-4Wx5,二一1Wx+38即“=x+3的值域B=T,8)又/(2x-3)是由A到8上的函数=2x-3与B到C上的函数y=
4、/()复合而成的函数，而8=8，从而=2%-3的值域8=-1,8)-l2x-38.22x11,.1XNb-2时，F(x) ab例3.函数/(X)定义域是(a,b)%+ 1VXV3 1 X 3a+15“a3x-b3解:由题，3x+1力-1Z+1力-I不表示函数:当丁，即vh-2时，尸(X)表示函数，ab其定义域为(平,F).说明：/(X)的定义城为(a,b),求/(g(x)的定义域的方法：/(x)的定义域为(,6),求f(g(x)的定义域。实际上是中间变量的的取值范围，即U(a,b),g(x)w(,b)。通过解不等式g(x)人求得X的范围，即为f(g(x)的定丈城。/(g(x)的定义域为(a,b
5、),求/(x)的定义域的方法：假设/(g(x)的定义域为(,b),求/(x)的定义域。实除上是直接变量X的取值范围，即XG(,)。先利用x/?求得g(x)的范围，那么g(x)的范围即是/(X)的定义域。三、求有关复合函数的解析式例4./(X)=尸+,求/(-l).f(D=(+)2+l,求/.例5./0-1)=X+,求/h/“-)=+3，求+i)点评：/(%)求复合函数/Ig(%)的解析式，直接把/(%)中的X换成g()即可。/g(%)求/(X)的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在/g(x)中把关于变量X的表达式先凑成g(x)整体的表达或，再直接把g(x)换成X而得/(%)。换元法就是先设
6、g(%)=t,从中解出了即用r表示%，再把X关于r的式子直接代入/Ig(%)中消去X得到/a),最后把/()中的r直接换成了即得/(x)。例6./(X)是一次函数，满足3(x+l)-2f(x-l)=2x+17,求/(x)；3f(x)+2d)=4x,求F(X)X点评：当函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。假设抽象的函数表达式，那么常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。/(x)满足某个等式，这个等式除/(X)是未知量外，还出现其他未知量，如/(-X)、/()等，必须根据等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出/(X).王：求函数的定义域的主要依据有：(1)当/(x)为整式或
7、奇次根式时，XR:(2)当/(X)为偶次根式时，被开方数不小于O即分0；(3)当/(X)为分式时，分母不为0：当分母是偶次根式时，被开方数大于0：当/(X)为指数式时，对零指数基或负整数指数幕，底不为。如/(%)=%,/(%)=%-2=中XWO。(5)当/(X)是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的，它的定义域应是使各局部都有意义的自变量X的值组成的集合，即求各局部定义域集合的交集。(6)分段函教y=/(x)的定义域是各段上自变量X的取值集合的并集。由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。(10)三角函数中的切割t数要注意对角变量的限制。
