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1、三角函数的图象与性质7. 3.1三角函数的周期性【教学目标】1 .理解周期函数，最小正周期的定义。2 .会求正、余弦函数和正切函数的周期。3 .能够判断实际问题中的周期。【教学重难点】会求正、余弦函数和正切函数的周期。【教学过程】一、情境引入丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般，有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车V1648.OMW,全部高度有220米，风车风轮的直径也达到了世界最大的风力发电机组164米，扫掠面积21000平米，在风速11米/秒时，转速在4.8-12.1rpm之间，电力输
2、出可达到每小时最大8百万瓦，这个风力发电组的电能能满足7500个家庭的电力需求。风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动给我们带来了巨大的收益。这种周而复始的转动就是周期现象。问题(1)你能用数学语言刻画函数的周期性吗？如果函数y=U)的周期是T,那么函数y=y)(Q0)的周期是多少？(2)函数y=Asin(x+3)或y=Acos(dzr+p)的周期与什么量有关？其计算周期的公式是什么？提示(1)对于函数凡r),如果存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的每一个值时，都有r+7)=(x),则/U)为周期函数，y=(Gx)的周期为(2)与口有关，T=两O二、新知初探1.周期函数没有特别说明的情况下
3、，周期均指函数的最小正周期条件函数7U)的定义域为4如果存在一个非零常数为对于任意的xA,都有x+rA,且U+T)=m)结论函数Kr)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的囿明2.最小正周期条件对于一个周期函数於)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数结论这个最小的正数叫做7U)的最小正周期3.正弦、余弦、正切函数的周期性函数y=Asin(x)y=Acos(x)y=Atan(x+)周期-2T=T2T=T=条件A0,0,A、53为常数拓展深化微判断1 .任何周期函数都有最小正周期。(X)提示常数函数yu)=c,任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期。2 .若存在正数丁，使/+7)=-U
4、),则函数KE)的周期为2兀()3 .y=sinR是周期函数。()4 .当X=V时，sin(x+用)=sinx,则,一定是函数y=sinx的周期。(x)提示根据周期函数的定义，存在功，对于定义域内的任一个R,都有於+Q=(x),特殊的不行。微训练Y1 .函数兀V)=Sig的最小正周期为()A.6B.3D.C.2解析T=6,故选A.3答案A2 .函数y=sin(x+?是()B.周期为的偶函数A.周期为兀的奇函数C.周期为2的奇函数D.周期为2的偶函数解析因为y=sinQ+3=cosx,所以该函数是周期为2的偶函数答案D3 .设zR.,若函数y=siG+施最小正周期为号，则A=解析T=,：.k=3
5、.KD答案3微思考1 .一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？提示周期有无数多个；周期函数的图象循环重复出现。2 .若函数y的周期为丁，则at,N*也是yu)的周期吗？为什么？提示是，利用周期函数的定义，fix)=fiix+T)=y(x+27)=.=J(x+kT)o三、合作探究题型一求三角函数的周期【例1】求下列函数的周期：(1) yU)=2sin(gx+g),R:(2) fix)=12cos(jxj,R;(3) y(x)=sinx,xR0解(1)法一设氏0的周期为T,rIl/ix,tfl1则2sin|_2(x+T)+k=2sinjx+zj,即2sin&+聿+&=2sin&+
6、加任意的X均成立。即2sin(+，=2sin，其中w=gx+5。Vy=2sinu的周期为2,=2,/.7=4兀，7/W=2sin&+的周期为4,4-42l一Ax)=2sin&+*的周期为4o(2) HX)=12CoS(I，的周期为T=1=42(3)利用周期函数的定义，Xx)=sin(x)=-sinx=sinx=f(x)o/.y()=sinx的周期为兀。规律方法求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解。(2)公式法，对形如y=Asin(s+/)或y=4coS(GX+s)(A,8是常数，4,必翔)的函数，7【训练1】在函数y=cosx,y=cosx,y=cos(2x+,y=tan
7、(2x一争中，最小正周期为兀的函数有()A.B.C.D.解析y=cosx,周期为2;y=cosx,周期为兀，正确；y=cos(2x+1),周期为,正确；y=tan(2x彳)周期为多故选D.答案D题型二周期函数在实际中的应用例2若单摆中小球相对静止位置的位移MCm)随时间Z(S)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从。点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)当f=lls时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？解(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4s。(2)若从。点算起，到曲线上的。点表示完成了一次往复运动；若从A
8、点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动。(3) ll=0.2+0.427,所以小球经过IlS相对于静止位置的位移是OCm。规律方法根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题。【训练2若钟摆的高度Mmm)与时间小)之间的函数关系如图所示。(1)求该函数的周期；(2)求f=10s时钟摆的高度。解(1)由图象可知，该函数的周期为1.5s；(2)设=/，由函数)的周期为1.5s,可知/(10)=+6xl5)=/(1)=20,：.t=10s时钟摆的高度为20mmo题型三三角函数周期性的综合应用【例3】定义在R上的函数外)既是偶函数，又是周期函数，若7U)的最小正周期为,且当
9、x0,方时，y(x)=sinx,则乂苧)=()ATB.IC.D,孚解析虑)=_j=虑)=虑F)=(V)=局=Si导察答案D【迁移1】(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何?解幻=F)=虑)=虑F)=卜*一局=-Si受一事【迁移2】(变换结论)若将例3条件不变，求*)+产碧的值。解周=遍=坐彳竽673+野焦冏=SinA坐/2020兀L/202哨也,近rr所以W+A丁+苛=S。规律方法当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值。【训练3】设段)是周期为2的奇函数，当Oa1时，7U)=sinx+x,则Ia2时，/)
10、解析当Ia2时，-2v-v-l,贝JO2XV1,因为当0x0,XeR)的2TT周期=77oCO五、课堂练习1 .函数Kr)=Sin(2x+的最小正周期为()A.4B.2C.D.解析由题意知T=:=兀，故选C.答案C2.已知函数於)=sin(-匀一1,则下列命题正确的是()A. Kr)是周期为1的奇函数B. 7U)是周期为2的偶函数c.7U)是周期为1的非奇非偶函数D.yu)是周期为2的非奇非偶函数解析y(x)=sin7tr-1=cos-1,故选B答案B3 .函数J(X)=Sinx和函数g(x)=tan50)的最小正周期之和为,则=解析函数/(x)=SinS,周期Ti=*,函数g(x)=tans
11、,周期7=,T+T=f=3.答案34 .函数/U)=3cos(gx-W)(g0)的最小正周期为华，则兀)=O解析由己知W=,，得=3,CO3所以U)=3cos(3x一,*3COS3答案V5 .已知Kr)是以兀为周期的偶函数，且JVO,时,r)=lsinx,求当x,3兀时,/U)的解析式。解,3时，3兀一0,，,.,目时QO=I-Sinx,.*.y(3-x)=1sin(3-x)=1sino又yu)是以为周期的偶函数，3-R)=4_冗)=/(幻，；&)的解析式为危)=1sinx,3。7 .3.2三角函数的图象与性质【第一课时】正、余弦函数的图象与性质(一)【教学目标】1 .能利用三角函数的定义画y
12、=sinx,y=cosx的图象。2 .掌握“五点法”画y=sinx,y=cosx的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线。3 .理解y=sinx与y=cosx图象之间的联系。并能利用图象解决问题。【教学重难点】掌握“五点法”画y=sinX,y=cosx的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线。【教学过程】一、情境引入将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆（如图（1）所示）。在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴。把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板。这样就可在纸板上得到一条曲线，它
13、就是简谐运动的图象。物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”。它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间/（横坐标）变化的情况。图（2）就是某个简谐运动的图象。(1)问题1.通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？2 .你能比较精确地画出y=sinx在0,2兀上的图象吗？3 .以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y=sinx,x0,2图象的方法?你认为图象上哪些点是关键点？提示1.正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线。4 .能，利用特殊角的三角函数的定义。5 .五点作图法y=sinx的五点：（0,0），俘1），（,0）,侍一1）,（2,0）；y=cosx的五点：（0,1）,停0J,（,一D，修,（2,1）。二、新知初探1.正弦函数、余弦函数的图象两者的图象可以通过左右平移得到函数y=sinxy=CosX图象r-1I一以卜7251Ai/?;-1图
