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1、空间向量及其运算的坐标表示【学习目标】1 .了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示。2 .掌握空间向量运算的坐标表示。3 .掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用。4 .掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题。【学习重难点】重点：理解空间向量的坐标表示及其运算。难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题。【知识梳理】一、平面向量坐标表示及其运算已知a=(xl,%),b=(x2,y2),写出下列向量的坐标表示ab=(x1+x2,y+y2a-b=(x1-x2,1-y2)；2a=(lxl,yi)；ab=x1x2+yiy2abx1y2-x2y1=0;abx1x2+y1y2=
2、0设6=(X,y),则I-F=f+,2或=M+y2如果表示向量3的有向线段的起点和终点的坐标分别为区,必)、(x2,y2),那么IGl=J(内一通)2+(凶一必)2；CoSe=一XIX2+9冉(oea)由【学习过程】一、情境导学我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问题中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算。二、探究新
3、知（一）空间直角坐标系与坐标表示1 .空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底31,k,以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系。Dz,。叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。孙平面，SN平面，OZX平面。（1）画空间直角坐标系。物时，一般使NXoy=I35。（或45。），NyOZ=90。三个坐标平面把空间分成八个部分。（2）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向X轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向Z轴的正方向，则称这个坐标系
4、为右手直角坐标系。本书建立的都是右手直角坐标系。2 .点的坐标在空间直角坐标系Oqz中，i,j,k为坐标向量，对空间任意一点4,对应一个向量65,且点4的位置由向量瓦5唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x,乃z）,使5xi+yj+zk.在单位正交基底i,j,k下与向量方5对应的有序实数组（x,/z）,叫做点4在空间直角坐标系中的坐标，记作/（x,y,z）,其中X叫做点4的横坐标，y叫做点4的纵坐标，Z叫做点4的竖坐标。3 .向量的坐标在空间直角坐标系。斗中，给定向量a,作57=由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组G,乃z),使a=xi+yj+zk0有序实数组(x,yfz)
5、叫做a在空间直角坐标系的N中的坐标，可简记作a=(x,yfz)。小试牛刀1 .若a=3i+2j-k,且i,j,k为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为。(3,2,-1)答案：同比而的坐标恰好是终点P的碓标，这就实现了空间基底到空间坐标系的转换。思考：在空间直角坐标系中，向量前的坐标与终点P的坐标有何关系？(二)空间向量运算的坐标表示2 .空间向量的坐标运算法则设向量a=(。，a,a),b=(6,b,b),2R,那么I23123向量运算向量表示坐标表示加法a+b减法a-b数乘a数量积ab(+b,Q+b,4+b)；(a-b,a-b,a-b)；(a,)xa)；ab+ab+abII2233112233
6、123Il22333 .空间向量的坐标与其端点坐标的关系：设彳(X,片，NJ,B(弓，z2),则力B=(4-XjZAzz即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。4 .空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(,a,a)b=(6,b,b),则I23123(1)当b,0时，ab=a=2bo(zR);(2) abQ。a-b,a=h,a=h；ab=O；ah+ab+ab=0112233112233点睛：当b的坐标中t,4,4都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为ab=Ql_。2_。3b1b2b35 .空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示若向量a=(。，。，。)，b=(
7、b,b,b),则123123(1)a=(2)cos=:Ial网(3)若PI(X1，yfZi),Pi(X2,歹2,Z2),则尸I，Pz两点间的距离为|瓦玛I=2,2工2%瓦+2a3b3222国+度+说；/夕/天(小1)+4BGA中，点E是棱。1。的中点，点、P,。分别为线段SG,BD上的点，且3型二西，PQLAE,BD=DQf求/1的值。延伸探究1若本例中的PQL4E改为/。，后。，其他条件不变，结果如何？延伸探究2本例中若点G是4。的中点，点，在平面XQy上，且GHBD,试判断点，的位置。【达标检测】1 .如图，在长方体力BCQdlBIGol中，AB=41BC=I,44=3,已知向量a在基底四
8、,AD,再下的坐标为（2,1,-3）。若分别以赤，DC,西的方向为X轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为（）A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)2 .下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是()A.B=(1,0,0)B.C=(0,-1,0)C.D=(-1,-1,1)D.e=(0,0,-1)3 .已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(a+b)(a+b)=2,则左的值等于)3 21A.1B.-C.-D.-5554 .已知点Z（1,1,r）,B（2,/,/）,贝J4,B两点的距离的最小值为（）A.3IU10
9、B.fD.5 .已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4)。(1)计算2a-3b和2a-3b(2)求.6 .棱长为1的正方体4?CD-481Gol中，E,F,G分别是BD,的中点。(1)求证：EFLCF(2)求EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长。课堂小结课堂小结：本节课你学到了什么？参考答案：知识梳理【学习过程】小试牛刀1.(3,2,-1)答案：向量丽的坐标恰好是终点夕的坐标，这就实现了空间基底到空间坐标系的转换。小试牛刀1. (-1,-1,1)；(5,-11,19)；168解析：m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-
10、(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)(-3n)=(2,-6,10)-(6,-6,12)=168.22. 4；-3解析：若2回则有:=,解得2=4.若3_11),则ab=2%+8九2+6=0,解得入=-；。A8-o33. 答案：3,解析：a=Sq=J(-2)2+22+(3)2=3,a与b夹角的余弦值cos=眨=yIallbl-6+12+0_63369例1思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，再根据空间向量基本定理，将前，中用基底表示，即得坐标。解：由己知力O_LO3,OOLOA,OOA-OB,从而建立以成，OB,对方向上的单位向量i,j,k为正交基底的空间直角坐标系QUz,如图，则U4i,OB=2j,E=4k,DO=-OD=-(E+而)=-+i(0A+OB)=-00-1OA-OF=-2i-j-4k,故前的坐标为(-2,-1,-4).AB=OB-0A=OB-(0A+AAi)=OB-OA-研=-4i+2j-4k,故项的坐标为(-4,2,-4)。即加=(-2,-1,-4),AB=(-4,2,-4)。(1,1, 1)解析：因为标=前+西+庠=T而+南+
