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1、微积分II期末模拟试卷1(满分：100分；测试时间：100分钟)一、填空题(3X5=15)1、塞级数之E的收敛区间为_2、由曲线y=3-x2及直线y=2x所围成平面区域的面积是3、改变,空严求抛物线y = -x2+4x-3及其在(0-3)和(3,0)处的切线所围成图形的面积。/办的积分次序4、微分方程+)，-2=0的通解丫=5、设二一5xTlimdx,则极限IimmI”等于2J。o二、选择题(3X5=15)6、定积分J；(IXI+x)*dx的值是()。26（八）0；(B)2；(C)2e2+2;(D)e27、一曲线在其上任意一点*,y)处的切线斜率等于-M,这曲线是()y（八）直线；(B)抛物线
2、；(C)圆；(D)椭圆8、设函数z=2(d),其中/可微，则土生+包=()Xyxy12、计算下列多元函数微积分(D设g为连续可微函数，u=f(x9xy)fV=g(x+xy),求F一.OXOX设2+z2=yZ,其中为可微函数，求当.13、计算下列二重积分(1)计算JJxydxdy,其中D是由抛物线)，=及直线y=工-2所围成的闭区域.(2)计算JJJ+xdy,其中D是由V+y2=4所围成的闭区域.14、处理下列级数811(1)求-sin!的敛散性*ln( + 2) n8(2)求Z5 + l)x的和函数/1=115、求解下列微分方程(2) xy, + y = xex(1)(xy2+x)Jx(y-x
3、2y)dy=O四、综合题(2X10=20)16、求函数/(x,y)=xe2的极值.17、设凹(工),丁2。)，为(了)都是方程y+P(%)y+Q()y=/()的特解，且一“不恒等于常数，证明y=(l+q)y+(。2-。)月一。2%为方程的通解(其中C,C2为任意常数)。微积分II期末模拟试卷2(满分：100分；测试时间：100分钟)填空题(3X5=15)1、Vl-SinxtZx=2、Iimln+-)2(l+-)2(1+32用积分形式表示为“T8V/1nn3、已知y=(x)过(0,-1),其上任一点处的切线斜率为XIn(I+/),则/()二.4、基级数(-l)x的和函数为.11=15、设函数z=
4、z(x,y)由方程z=A3z+2y确定，贝j32+空=.xoy二、选择题(3X5=15)OOQOQ6、设%0=l,2,),且收敛，常数;l(0,不)，则级数E(-l)”5tan4)%1w=L三（八）绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与有关7、曲线y=y(x)经过点(0,-1),且满足微分方程y+2y=4x,则当x=l时，y=()（八）O;(B)I;(C)2;(D)48、设2是圆域O=(X,)|犬+/4的第Z象限的部分，记人=J(y-)必力，则4（八）10(B)Z20(C)Z30(D)Z409、设函数/(x,y)为可微函数，且对任意的x,y都有空0,空之)/(文2，%)成立的一个充分条
5、件是（八）l2,y12yiy2(C)2,yy2(D)y210、设4二户SdX/=户上dr,则JXJtanx（八）I1I2l.(B)11I2.(C)I211.(D)1Z2I1.三、计算题(5X10=50)12、计算下列定积分1(1) p|UrCSln%.(2)求)=8SX-sinx,y=0(0x工)绕X轴旋转的旋转体体积hVi-X2412、计算下列多元微积分(1)设Z=2-y,/(Xy)L其中f(，。具有二阶连续偏导数，9()二阶可导，求2zxy(2) f(x+y,yz,zx)=0,求Jz.13、计算下列二重积分(1)设平面区域D是由曲线为=3y,y=3x,x+y=8所围成，Kx1dxdy.(2
6、)求二重积分Jj(X-y)必Uy,其中O=(x,y)(x-+(一以2,yD8(1)试确定ZW=I14、处理下列级数3十(2丫把 ) = Pn(I+ x)公展成4的基级数。匚L(x+1)”的收敛半径、收敛区间和收敛区域。15、求解下列微分方程(1)yy+(y)2=y;(2)y*+2y,+y=xexo四、综合题(2X10=20)16、设f(x)在&6上连续，在(a6)内可导且/(x)0,求证：/(X)=J-/(f)力X-aja在(a,b)内也尸(x)0.17、求曲线V一孙+y3=KQy0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。微积分H期末模拟试卷3（满分：100分；测试时间：100分钟）一、填空题
7、（3X5=15）1、曲线（X-Jo”在（0,0）处的切线方程为y=t2ln（2-r2）3、微分方程y=2y满足初始条件YA=O=IMmO=3的特解y=4、ESir1(+工)的敛散性为Mn5、设D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2),(0,1)的直边梯形，计算J(l+x)ydb=D二、选择题(3X5=15)6、设人=JSinXdX,伏=1,2,3),则有（八）1I2I3(B)32Z1(C)72Z3i(D)I2IlI37、设函数f连续，若F(zz,v)=fff+ydxdy,其中区域为图中阴影部分，则=D,nX2+y2（八）f(u2)(B)-f(u2)(C)vf(u)(D)-f(u)UU8
8、、二元函数/(%,y)在点(0,0)处可微的一个充要条件是(A) )(O.O)J2+y2(D) Ii/；但0)_/(0,0)=0,且1吟7；(0,),)_/：(0,0)=0.9、设函数/(x)在(0,+8)上具有二阶导数，且f(x)0,令=/()，则下列结论正确的是：（八）若对的，则“必收敛.(B)若场2,则叫必发散(C)若，则叫必收敛.(D)若/2则必发散.10、微分方程y+y=f+sin的特解形式可设为(A) y*=0r2+Zzx+c+x(Asinx+Bcosx).(B) y=x(axz+Zzx+c+Asinx+Bcosx).(C) j*=or2+Zzx+c+Asinx.(D)y*=r2+
9、Zzxc+Acosx三、综合题(7X10=70)11、求函函(X)=J(X2-t)e-t2敝单调区间与极值,12、设函数W=/(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4粤+12堤+5粤=0.oxxyy确定。的值，使等式在变堆=x+ay,=x+by下简化亘土=O3剑13、求微分方程yu+y2)=y满足初始条件y=y(i)=的特解.14、将函数)=4在X=I处展开为基级数，并求x11=215、设函数y = y(x)由参数方程=(t)产确定，其中X是初值问题y=JoIn(I+dx c 八2te =OdtX-O = V 的解求U16、设非负函数y=y(x)(xO)满足微分方程孙-y+2=0,当曲线y=
10、y(x)过原点时，其与直线x=l及y=0围成平面区域。的面积为2,求。绕y轴旋转所得旋转体体积。17、求证：若X+y+z=6,WJx2+y2+z212,(x0,y0,z0).微积分11期末模拟试卷1答案12345232TJay=clex+c2e2x3(1+,)-1678910CDADA1、解.Iim4=Iim(+产出=J.所以收敛半径为2.an3o12nn2n322、yy=3-f与y=2交点为(-3,-6),(1,2),取X微积分变量则S=,J(3-x2)-2xdx=3x-x3-x2L3=y-2fy2x-x2riJl-y2+l3IdxLa=Jha4、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方
11、程为-+r-2=0,解得特征根A=I,弓=一2,从而通解为y=ce*+C2ex35、【答案】(1+6T户一1【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为,f=Ixw-*yi+xndx=l+x,(l+x)12JL1n2=1dn)2r,=1i+(-)rt2-i)n0n+1可见Iimna=liml+(F-1=(l+e,)三-1.oon+6、选(C)2JXI+)dx=(Wx+2xexdx=2xex-2ex=22+27、选）；按题意有字=一生，即ydy=-2xdx,积分得1丁+/=。，可见，该曲线axy2是椭圆。8、【详解】土老+导=二-f（.xy）+fxy）+,/）+W（科）=2V（孙）.应yo
12、xyylxxJx该选（八）.9、【答案】D【解析】因dz=x仅+)My可得0故(0,0)为函数z=(x,y)的一个极小值点.10、A解：取SLZMa“一%)11=1=sk=(1-)+2(2-1)3(673-2)+4(4-3)+k(ak-ak)=-0-(1+1+%)+kafi=-%-SL+MSS-Eak-,S=SIT=Z4=-Sn=ln=l则命题（八）正确。11、(1)解：2x34-x2令x=2sin得Jo728sin312st2stdt=32(s2x-l)s2rJsr=32(-cos5X-Cos3t)i=530153解：切线方程分别为y=4x-3和y=-2x+6,其交点坐标是(：,3),.S=(4x-3)dx+G(-2x+6)dx-：(-x24x-3)dx=。12、(1)解.=ff2,y,W=g(l+y).所以OXOXuv八、，/，、=(i+y),(/1+y)OXOV(2)解.原式两边对y求导.zG,、(z-y-zoOZz,zyg、|2z一=-y.所以SyyjVyJy2yz_)，e：J13、(1)计算JJxydxdy,其中D是由抛物线丁二1及直线y=工一2所围成的闭区域。D解:X必dy=f2初可力=CL-yJy=Iy-+i+2y2-.=5dLJy2LJ-I(2)计算JjJtVYXdy,其中D是由V+2=4所围成的闭区域。D解：JJe
