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1、微积分第2版第2章极限与连续习题祥解习题2.1（八）1.观察下列数列怎,(5) = (-ln;当ZlfoO时，极限是否存在，如存在，请写出其极限值.解当8时，极限为|;极限为0；极限不存在;极限为1；极限不存在;极限不存在.(2)当一OO时,(3)当一8时,(4)当一8时,(5)当一8时,(6)当一8时,2.对于数列5=1,2,)，给定(1)=0.1,(2)=0.01,n+1(3)=0.001时，分别取怎样的N,才能使当N时，不等式|乙一1|成立？并利用极限的定义证明此数列的极限为1.解要使卜“一II=1=!=10,9,故取1m1+1n+0.1N=9即可.(2)要使风一1|=1=-=10099
2、,故117?+177+10.01N=99即可.(3)要使Ixn-11=1=-=1000，n999I1n+10.001故取N=999即可.对于任意给定的0,要使比一1|=1=-即+1L,n-1.n+1取正整数N=-1,则当N时，恒有1=/一IV,故lim一J+1flo0n+1习题2.1(B)1 .用数列极限的定义证明下列极限：(1) Iim14-=O；(2)Iim=Lon+1-R3+13证明（1）对于任意给定的0,要使不等式xn-a2-一成立.取N =2,则当N时，恒有所以 IimI+(T) =0./1Too（2）对于任意给定的0,要使不等式成立，只需-成立.取N=-!-,则当N时，恒有n10,
3、要使不等式口（所向一成立，只需成立.取N=-4+1,则当N时，恒有_(h+T-V11)-00,对所有的乙都有同M,对于任意给定的0,要使不等式氏”一OHXMVAJe成立，只需0,存在N,则当NM28M时，恒有ynk时，恒有氏小呜所以IimxhyZl=0.11-KO4 .对于数列xm),若x2a-1a(k),x2ka(k),证明：xm(?).证明因为X2J-4(%-8),所以V(),肪0,当%勺时，有-4Vg；又因为。(200)，所以对上述0，320当攵%2时，有|积一。|N时，若n=2k-l,则左K+gZ,得氏一4=员1一K22,得上一汗=卜2%一&N,就有x40,要使不等式(x)-=(2x-
4、l)-l=2x-l成立，只需x-l成立.取K=,则当0上一1卜5时，恒有(2x-l)-l0,要使不等式-=-(-|一露+2)4=x2人I/II4I乙成立，只需取b=即可.则当OVk+2|时，恒有x?4-(-4)0,要使不等式(x)-A=-2=tM时，恒有2x+3C20,要使不等式I”、.sinx八1W-Al=L_0F成立.取M=F,则当xM时，恒有U习题2.2(B)1.当x2时，/(x)=x24,问3等于多少，使当卜一2|5(x)-42,x-20,不妨设卜一2|匕即lx3要使卜2-4=(+2)(X-2)5x-20.001,只要x.2l=0.0002,取5=0.0002,则当0上一2|X时， X
5、 +31(x)-2 0.01?解 因为|/(幻一2| = |当9一2|二35.要使签，一2 0.()1 ,只要4105 ,取X=IOJL 则当同X 时，就有Ifa)-2V0.0L3 .讨论x0时，X-1,(1) f(x) = 0, x + l,解由于下列函数的极限是否存在.x0(2) f(x)sinx, -x0%, 0xvlIim 于QC)= Iim(X-I) = -I,xOx0Iimf(x)=lim(x+l)=1,xO4xO4Iimf(x)Iimf(x).x0-x0*所以Iim/(x)不存在.(2)由于Iimf(x)=IimSinX=O,Iim/(x)=Iimx=0.x0x0x04x*故Ii
6、mf(x)=Iim/(x).所以Iimf(X)=0.x0x0*x0-00Iim F(X) .A2小.、1.X+X1.4xC解hm/(x)=IlmLi-LT=Iim=2.XfmXTx5x-3x2(5) 函数/(幻=,问当。取何值时，函数/(x)在Xf2时的极限存2x-aX8时，变量为无穷小.由于Iim-= ,XToO x -1X -1XfT X -1r 1故XT时，变量F为无穷大.X-I(3)由于IimIn(X-I) = 0,故x2时，变量为In(X-I)无穷小. x2由于 Iim ln(x-l) = + ,或 Iimln(x-l) =- ,X-HXxl+故X+或Xf广时变量In(X-I)为无穷
7、大.2.根据定义证明:y = x-l为当xl时的无穷小;_ sinx为当X8时的无穷小X(1)因为所以V0,取S=,则当ok-8时，一为无穷小.所以X,.sinx.Iim=0.XTg(2)当x2时，x+1有界，f-5%+6为无穷小.所以lim=.22-5x+6z1.x-4(x+2)(x-2)(3) Iim=Iim=lm(x+2)=4.x2-2-t2-212习题23(B)1 .举例说明，两个无穷小的商不一定是无穷小；无穷小与无穷大的积不一定是无穷小.2_i解(D如lim(x-l)=O,Iim(X2-I)=O,但Iim=Iimer+1)=2.不是无穷小.rl.vIxl-XTl例如Iim(X-I)=0,Iim=,XTlxl厂1但是Iim(X-I)I=Iim:I=Iim!=不是无穷小.XTlx-1I
