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1、L4.1用空间向量研究直线、平面位置关系考点01：直线的方向向量1 .若点A(TO,2),8(1,4,10)在直线/上，则直线/的一个方向向量为()A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(0,2,-1)D.(0,4,12)【答案】A【分析】由方向向量的概念求解，【详解】由AB=(2,4,8),/的方向向量与AB平行，只有选项A满足题意，故选：A2 .如图，在四棱锥P-ABCo中，底面ABCO为矩形，附J_平面48CD,E为尸。的中点，AB=AP=IfAD=6，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量.【答案】(1,3,-1)【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义
2、可得.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A一到z,则P(0,0,D,C(l,3,0),所以尸C=(L3,-l)即为直线PC的一个方向向昂考点02:平面的法向量3 .已知A(2,0,0),8(0,2,0),C(0,0,2),则平面ABC的一个法向量可以是()B.(1,-U)【答案】A-2x+2y = 0-2x+2z = 0【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.【详解】AB=(-2,2,0),AC=(-2,0,2),令法向量为血=(x,y,z),则.y=Z=X,可取zn=(T,故选：A.4 .在棱长为2的正方体A8CZ）-ABCQ中，E,尸分别为棱AA,A片的中点，在如图所示的空间直角坐标系中
3、，求：平面3D。西的一个法向量；平面BDEF的一个法向量.【答案】（I）AC=（-2,2,0）（答案不唯一）(2)n=(2-2-1)(答案不唯一)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量;（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.由题意，可得0(0,0,0),5(2,2,0),4(20,o),C(O,20),E(Lo,2),连接AC,因为底面为正方形，所以AC/6O,又因为OA_L平面ABCDACU平面ABC。，所以OA_LAC,且BODD1=D,则AuL平面5。蜴，AC=(-2,2,0)为平面5。心的一个法向量.(答案不唯一).(2)D=(2,2,0),DE=(1,0,2).设平面B
4、DE尸的一个法向帛为=(,y,z),则H-DB=Of2x+2y=0,y=,n-DE=O,x+2z=0,1Z=X.2令=2,y=-2,z=-l.=(2,-2,-1)即为平面B的一个法向量.(答案不唯一).考点03:空间向量法做直线与直线平行5 .己知正方体ABS-A/GR中，M与N分别是棱8片与对角线CA的中点.求证：MNUBD,并且MN=-BD.2【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用坐标关系来证明.【详解】以力为坐标原点，OAOCoA所在直线分别为乐XZ轴，建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为2,则B(ZZo),D(0,0,0),A(N0,2),C(02
5、0),M(224),N(l,1,1)M=(TTO),BD=(-2l2,0);因为60=2肪7，且,4=2近,|“冈=无，所以MN/BD,并且MN=38。.6 .如图，在正方体ABeQA/CQi中，棱长为2,M,N分别为,AC的中点，证明：MNBC.【答案】证明见解析.【分析】连接阴,由中位线定理即可证明MN耳C.【详解】连接A%如图，B由正方体知四边形BBiAy是正方形，且M是AB的中点，所以AACAB=M,即M是A4的中点,又N是AC的中点，所以MNB.考点04:空间向量法做直线与平面平行7 .设直线/的方向向量为d,平面。的法向量为，Iaa,则使/成立的是()A.d=(2,-1,3),/=
6、(TLl)B.d=(1,-1,2),w=(-1,1,-2)C.3=(1,1,0),/i=(2,-1,0)D.=(1,-2,1),n=(1,1,2)【答案】A【解析】/a等价于”与垂直,分析选项即可得解.【详解】A中i=(2,T,3)(TJl)=-2T+3=0,所以q_L，故/“其他答案G工O故选：A【点睛】本题考查的是空间向量的应用，较简单.8 .如图，已知斜三棱柱ABCAgG,在AG和BC上分别取点M,N,使AM=AAC；,BN=kBC,其中OvAl,求证：MN平面ABgA.【答案】证明见解析【分析】用AA,、AB蓑示MN，即可得到MN与向量AB，A4共面，从而得证.【详解】证明因为a=A4
7、G=Maa+A4+4g)=Ma41+ab+AN=AB+BN=AB+kBCr所以MN=4N-AM=4+48+80)-(A8+ABC)=ZAA+(J)A8,所以MN与向量，AAI共面，而MNN平面ABBA,所以MN平面438个.考点05:空间向量法做平面与平面平行9 .若平面2夕，则下面可以是这两个平面法向量的是()A.H1=(1,2,3),Zi,=(3,2,1)B.nx=(1,2,2),n2=(2,2,1)C.1=(1,1,1),w2=(-2,2,1)D.n=(l,l,l),n2=(-2,-2,-2)【答案】D【分析】利用已知条件可知两个平面的法向量互相平行，判断选项即可.【详解】因为平面夕，所
8、以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面的法向量.属于容易题.DlCh BiCi10 .如图，已知棱长为4的正方体ABCo-A由/&/中，M,ME,尸分别是棱A/。/,AiBlf的中点，求证：平面AMNll平面7议).【答案】证明见解析【分析】根据题意建立空间直角坐标系，分别写出AM,N,E,E8,f,求出平面AWN与平面耳的法向量，根据法向量与法向量的关系即可证明.【详解】由正方体的棱长为4,建立如图所示的空间百角坐标系-，z,则D(0,0,0), A(4,(),0),M(2,0,4), N(4,2,4), 3(4,40),E(0,2,4)(2,4,4)
9、AM =(-2,0,4),V = (0,2,4), QE = (0,2,4),9= (-2,0,4),设平面AMN的一个法向量为m= (,y,z),则mAM = 0m,AN = 0-2x 4 = 02y + 4z = 0，令 z = l,解得 x = 2,y = -2所以z = (2,-2,1)设平面比8)的一个法向吊:为n = (x, RZ),则/nDE = 0 j2y + 4z = 0nBF = 01-2x+4z = 0令z = l,解得x = 2,y = -2所以=(2,-2,1)所以/n平面AMNIl平面EFBD.考点06:空间向量法做直线与直线垂直11 .已知空间四边形ABC。中，A
10、DLBC1ABlCDt求证：AClBD.【答案】证明见解析【分析】利用向量垂直的运算法则证明线线垂直.【详解】证明：设A8=,AC=6,A。=C贝IJBC=AC-AA=力一a,Co=Ar)-AC=。一43。=AO-ABADLBC,ABA.CD.ADLBCyABlCDc(b-a)=Oac=bca(c-b)Oac=ab于是可得ab=bcACBD=h(c-a)=hc-ba=O.ACLBD即AeiBO12 .如图，在平行六面体48C。ASGA中，A8=4,AC)=4,AA=5,NDA8=60。，NBAA1=60。，ZDAA1=60,M,N分别为。,CM的中点.求证：MNLACx.【答案】证明见解析【分
11、析】利用空间向量的数量积为。的方法证明两直线垂直.【详解】证明：设A8=,AD=kAA=。，这三个向最不共面，a，b，c构成空间的一个基底，我们UUU用它们表示MN，AC1,则MN=MCl+CN=ga一;b,ACi=AB+SC+CCi=a+b+ct所以MN4C=(；。-；/?)(4+力+0)=aa+ab+aC-ha-bb-hc=42+42cos60+45cos60-42cos60-42-45cos60o=0.222222所以MN_LAG.考点07：空间向量法做直线与平面垂直13.如图所示，在长方体A8C。一ANGA中，AO=I,AB=AAJ=2,N、M分别A8、G。的中点.（1）求证：NM平面
12、AA。”（2）求证：NMj_平面AgM.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）以点。为坐标原点，DA.DC.DA所在宜线分别为、八Z轴建.空间宜角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）求出平面ABlM的一个法向后，利用空间向量法可证得结论成立.【详解】（1）以点O为坐标原点，OA、DC、OA所在直线分别为x、Z轴建立如卜图所示的空间宜角坐标系,则A(l,0,0)、M(U,1)、N(IJ0)、4(122)、4(1,0,2),NM=(To,1),易知平面A1A。A的一个法向量为1=(0,1,0),NMm=-IXo+0xl+lx0=0,则NM_L/n，.MW(Z平面AAoA
13、，故NM平面AAoA:(2)设平面AMM的法向量为=(,y,z),A4=(020),AM=(TL-I),所以，NM=n，故NMj平面ABM.小A耳=O得AM=o2y = 0-x+ y-z = O取x=-l,可得 = (T,O,1),14.如图，四棱锥尸ABQ)中，PA_L底面ABC。，ABLAD,ACCDtZABC=0PA=AB=BC=2,E是PC的中点.求证：（1）CD1AE；（2）P_L平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】方法一：（I）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-VZ,得到C。、AE,计算得到8AE=O,即证明COLAEUUU1（2）先写出尸力坐标，再求出平面A
14、eE的法向依，验证可知尸），即证明包，平面ABE方法二：（1）由PA_L底面ABCQ证明PAlCD,再结合AC_LCD可证明CD_L平面PAC.从而得到CC）_LAE.（2）由PA_L底面ABCD证明RA_LAB,再结合AB_LAD证明AB_Z平面/MO,从而得到ABJ.PD;再证明AEJ_PC.结合CZ）JLAE可证AE，平面PCZ）,得到AE_LP；最后根据线面垂百的判定即可以证明PQJ_平面ABE【详解】方法-（1）以A为坐标原点，AB，AD,AP所在直线分别为4,）Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)B(2,0,0),C(l,3,),Q(O,怨,1,P(0,0,2),Eg,专,1,所以。=T当F=fl所以cz4E=Tl+且X立+i=o,所以CT_L4E.I22)232(2)由(1),得PQ=(O,空2,AB=(2,0,0),AE=,1.(2x=0设向量”=(,y,z)是平面ABE的法向量，则.O?,即IG，取丁=2,贝lj=(0,2,-6)，/Z-AE=O-X+y+z=O,1123所以Po=
