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1、阶段复习课第三课三角恒等变形核心速填1 .两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(一份=COSaCOS6+sinasin.cos(+)=COSaCos一sinasin/.sin(+)=SinaCOS/+cosasin.sin(-)=SinaCOs/-cos_asinB.1 tan+tantan(+)=1.c.1.1-tanatan1tang-tan2 .二倍角公式sin2(x=2sinacosa.cos2o=cos%-sin%=2cos%-1=1-2sinL2tanatan2a=.1 -taX-3 .升幕缩角公式1cos2=2cost.1cos2=2sin.4.降幕扩角公式SinZr9(1co
2、s2xsinxcosx=,coszx=IIf.91cos2xsinx=25.辅角公式y=sinx+ZcosS=、/2+序Sin(GX+0).体系构建同角三角函数sin+COS-Ot=1的基本关系式笑=tan(M+CZ)差角公式三角恒等变形和角公式cos( a -) = cos acos + sin sin sin( a -) = sin coe - cos asin . c tan a tan B tan(-3) =-1 + tan tan cos( a +) = cos cos - sin as in sin(a +) =sin acos + cos asin tanatan 1 - tan
3、 atan sin 2 = 2sin cos a倍角公式cos2a=cos-sin=2cos-1=1-2sin*_2tanatan2a=-1-tan*a应用三角函数式的求值、化简和证明,讨论三角函数的性质题型探究KBtI三角函数的求值问题fflI已知tan(+；)=-/，且方兀，求Sin?登的值SInIaF【导学号:64012185sin2a_2cos22cosa(sinacosa)r-解z=-l-=22cosa.sin(a-wj2(Sina-COSa)(.1+tana1.tana+=-=-z,41tana2，tana=-3,规律方法三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出
4、的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.跟踪训练1.已知OVa且3sin4=sin(2+p),4tan1tan求+6的值.解3sinS=Sin(2+S),即3sin(/?)-=sin(),整理得2sin(
5、+份CoSa=4cos()sina.即tan(+夕)=2tana.又4tan2=1-tan-5,Ca2tan2tanOt=7,1 这22 tan2tan(+S)=2tana=2=.V+0,W),.+夕=.52Sin1300+sin100(l+5tan370。)化I间rrt-5rfv2sin50o+sin80o(l+3tan10)解原式=Cy1cos10cos10o+3sin102sin50o+cos10oCOS1Oo2cos252sin50+2(gCoSl0+浮Sin10oj2cos5o2sin50o+2sin(300+10)也COS5o2sin(45+50)+sin(45。-5。)啦CoS5
6、2(Sin45CoS5+COS45Sin5+Sin45CoS5-CoS45Sin5)巾COS5_4sin450-cos5_92cos5o规律方法三角函数式的化简，主要有以下几类：对三角的和式，基本思路是降嘉、消项和逆用公式；对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段.以实现三角函数式的化简.跟踪训练2.化简sin2asin2cos2acos2/7-cos2
7、acos2.I解原式=Sin2asinR+cos%cosR3(2cos%l)(2cos2-1)=sin2sin2/?cos2acos2/?cos2acos2/?一=sin2asin2cos2a(1-cos2)+CGaB-工=sin2asin2/?+cos2asin2cos2=sin2y?(sin2a+cos2a)cos2/?=sin2cos2-112,!31三角恒等变换求证:Sin4xCoS2xCoSXx1+cos4x1+cos2x1+cosxtan2【导学号:64012186思路探究等式两边涉及到的角有42x,X,方等角，故可将左边4x,2x,%化为方的形式.证明左边=2sin2xcos2x
8、cos2xcosx2cos22x2cos2x、x2cos222sin2xcos21xcos2cos22x2cos2cos2SinZr2sinxcosxY2cosx2cos弓2cosx2cos32sncos彳sinz222.,=tan5=右边.2cos*2cos2，等式成立.规律方法1 .三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：（1）角的差异；（2）三角函数名称的差异；（3）三角函数式结构形式上的差异.针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化.2 .证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法.
9、3 .三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明.不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等.附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明.跟踪训练tan(1+sin)+sin0tan0+sin03Yntan0(1+sinSinOtan6sinFRU(l+sin0)+sin6证明左边=+sin。)一Sinesin(1+sin9)+sinJCoS1sin8+cossin8(1sinJ)SinJcos1sinJ-cos(1 +cos J)+sin C2S
10、 O CC 2(l-cos0+sin2sin2+2sincossin 右边=sin。 cos sin 夕+sin OCoS n lasin cos isin 0Sin2。+cos esin 夕-2，左边=右边，故原等式成立.I类型4|三角函数与平面向量的综合应用filIH已知向量=(cos苧，sin：),b=(cos5sin口且yW.(1)求ab及+b;(2)若yU)=b-+b,求/U)的最大值和最小值.思路探究本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数.(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简;(2)化简於)，并参照x昔，部求出最大值和最小值.3X3
11、xX+b =3x ,4 lcos +cos 2j解(l)=cos亍COSsin宁Sincos2x,.3x.sinsin=2+2cos2x=2cosx.lx3，4，*CoSx0,即+b=2cosx.(2) ,y(x)=cos2-2cosx=2cos2-2cos-1/13=21cosx-2I-2，,兀兀-cosxl.,.当CoSX=T时，段)取得最小值一|；当cosX=1时，兀x)取得最大值为-1.规律方法三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往
12、往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值.跟踪训练4.已知向量Wl=(CoS仇sin。)和=(啦一sinacos。)，6(,2),且帧I解n+i=(cos6sin+y2fcos6+sin),m+n=/(cossin2)2(cossinO)2=、4+26(COSJsin)=4+4cos()=21cos+由已知|次+I=得cos(。+：)=奈.兀一 8十1625V2,98 -82 5i-8+=Q8;+-4-5I类型5|三角恒等变换的综合应用探究问题1 .三角恒等变换的基本方向是什么？提示：基本方向是变角、变函数、变结构.2 .三角恒等变换的基本技巧是什么？提示：基本技巧是弦切互化，异
13、名化同名，异角化同角(角分析法)；升球或降赛，分式通分，无理化有理，常数的处理(如1的代换)；变量集中(引进辅助角).如acos+bsinO=Na?+in(0+(P)(为辅助角).3 .三角恒等变换的基本目标是什么？提示：基本目标是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数；尽可能不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论.例已知向量=(2sinx,cosx),b=h5cosx,2cosx),定义函数1上)=0协-1.(1)求函数兀0的最小正周期；(2)求函数,/U)的单调递减区间；(3)画出函数g(x)=段)，闻一居，制的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心.【导学号：64012187思路探究本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为U)=4sin(Gx+9)+8的形式，然后求解.I解J(x)=2y3snxcosx+2cos2-1=5sin2x+cos2x=2sin(
