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1、第12章全等三角形小结与复习一、教学目标1 .全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2 .掌握全等三角形的判定条件，并能进行简单的证明和计算，掌握综合法证明的格式；3 .掌握角平分线的性质及判定，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.二、教学重点、难点重点：全等三角形判定、性质及角平分线的性质和判定，建立本章知识结构.难点：运用全等三角形的知识解诀问题.三、教学过程知识梳理一、全等三角形的性质能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.几何符号语言：an,.ABCDEF
2、：.AB=DE,BC=EF,AC=DFZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZFBCEF二、三角形全等的判定方法三边分别相等的两个三角形全等.（“边边边”或“SSS”）几何符号语言：aa，AB=A/B,在AABC和AABC中，JBC=BC/AC二ACBz-CB乙/.ABCA,B,C,（SSS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.几何符号语言：AB=AP在AABC和AABC中，ZA=ZA/IAC=AC/，ABCAlBrCr（SAS）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.几何符号语言：在 AABC 和 ABC中，ZA=NAA
3、B=AENB=NB：,ABCA,B,C,（ASA）A*A-两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.定理应用格式：ZA=NAZB=NBBC=BCABCA,B,C,(AAS)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).注意：(1)“HL”定理是仅适用于Rt的特殊方法.因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS用“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.S RtBC 和 Rt AYBC中,AB = AE BC = BC(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt.书写格式
4、为：角的平分线的性质角的平分线的判定图形。丁/EBEB已知条件OP平分NAOBPD_LoA于DPE_LOB于EPD=PEPD_LOA于DPE_LOB于E结论PD=PEOP平分NAOB，RtABCRtA,B,Cz(HL)三、角平分线的性质与判定考点讲练考点一全等三角形的性质例1如图，已知AACE且ZDBF,AD=8,BC=2.(1)求AC的长度；(2)试说明CEBF.解：(I)YACEDBF,/.AC=BD/.AC-BC=BD-BC,即AB=CDVAD=AB+BC+CD,AD=8,BC=22AB+2=8,解得AB=3AC=AB+BC=3+2=5(2)VACEDBF：,ZECA=ZFBd,CE/7
5、BF方法总结两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.针对训练1.如图所示，点B、D、C在一条直线上，4ABD9ZACD,NBAC=90.(1)求NB；(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.解：（1）.ABDACD,ZB=ZCZBAC=90o,NB=NC=45（2）ADlBC.理由如下：/ABDACD,：,ZBDA=ZCDa,.ZBDA+ZCDA=180o，NBDA=NCDA=90ADlBC考点二全等三角形的判定例2如图，已知NABC=NDCB
6、,ZACB=ZDBC.求证：ABCDCB.NABC=NOCB（己知）证明：在AABC和ADCB中.BC=CB（公共边）NACB=NDBC（已知）/.ABCDCB（ASA）v针对训练2 .在下列条件中，不能保证AABC咨ZJ）EF的是（）A.AB=DE,AC=DF,BC=EFB.ZA=ZD,ZB=ZE,AC=DF9C.AB=DE,AC=DF,ZA=ZDD.AB=DE,BC=EF,ZC=ZF（VZxX3 .如图所示，AB与CD相交于点O,OA=OB.添加条件/（一个即可），所以AAOC坦ZkBOD理由是.J考点三全等三角形的性质与判定的综合应用D例3如图，在AABC中，AD平分BAC,CE_LAD
7、于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F.求证：ZDEC=ZFEc.A证明：YCEAD,NAGE=NAGC=90AD平分NBAa：,ZEAg=ZCAG/ZAGe=ZAGC在AAGE和AAGC中AG=4GZEAG=ZCAG：.AGEAGC(ASA)/.GE=GCGE=GC在ADGE和ADGC中ZEGD=ZCGD=90DG=DG：.DGEDGC(SAS)ZDEg=ZDCGVEF/7BC,ZFEC=ZDCe/.ZDEC=ZFEc方法总结利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必
8、要时要想到添加辅助线.针对训练4.如图，D是AABC的边AB上一点，ABFC,DF交AC于E,DE=FE,求证：AE=CE.证明：YADCFaA：.ZADE=ZCFeZ/在AADE和ACFE中DE=FEZADE=ZCFeAD = ADB-ZAED=NCEFADECFE(ASA)：AE=CE考点四利用全等三角形解决实际问题例4如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？解：相等，理由如下：AVADlBCANADB=NADC=90/raB=AC/SRtADBRtADC/：.RtADBRtADC(HL)U.BD=CD方法
9、总结利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：(1)先明确实际问题；(2)根据实际抽象出几何图形；(3)经过分析，找出证明途径；(4)书写证明过程.针对训练5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点CD,使CD=BC,三三三gPF再作出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上.VZACb=ZECD,CB=CD,NABC=NEDC=90/.ABCgZEDC(ASA).AB=ED
10、测出ED的长就是A、B之间的距离.考点五角平分线的性质与判定例5如图，Z1=Z2,点P为BN上的一点，ZPCBZBAP=180,求证：PA=PC.证明：过点P作PEJLBA,PFlBC,垂足分别为E,F./ Z1=Z2,PEBA,PFlBC/ PE=PF,NPEA=NPFC=90 ZPCB+ZBAP=180又 ZBAP+ZPAE=180o ZPAE=ZPCb/PAE = ZPCF在 AAPE 和aCPF 中 ZPEA = ZPFC = 90 PE = PF，APECPF (AAS)，PA=PC针对训练6.如图，Z1 = Z2,点 P 为 BN 上的一点，PA=PC,求证：NPCB+/BAP=I
11、80 . 证明：过点P作PE_LBA, PFBC,垂足分别为E, F.Y Z1=Z2, PEBA, PFlBC PE=PF, NPEA=NPFC=90在 RtAPE 和 RtCPF 中PA = PCBPE = PF RtAPERtCPF (HL) ZPAE=ZPCfV ZPAE+ZBAP=180o/. ZPCB+ZBAP= 180能力提升在AABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点(点D不与点B, C重合)，以AD为一边在AD的 右侧作aADE,使 AD=AE, ZDAE=ZBAC,连接 CE.(1)如图，若点D在线段BC上，NBCE和NBAC之间有怎样的数量关系？说明理由.如图，当点D在射
12、线BC上移动时，NBCE和NBAC之间有怎样的数量关系？说明理由.解：(I)NBCE+NBAC=180 .理由如下：V ZBAC=ZDAe/. ZBAC- ZDAC= ZDAE- ZDAC即 ZBAD=ZCAeV AB=AC, AD=AEV ABD ACE (SAS)/. ZABC=ZACe ZBCE=ZBCA+ZACE=ZBCA+ZABC ZABC+ZBAC+ZACB= 180V ZBCE+ZBAC=180oNBCE+NBAC= 180 .理由如下:设AD与CE交于点F. ZBAC=ZDAe ZBAC+ ZDAC= ZDAE+ ZDAC,即 ZBAD=ZCAE AB=AC, AD=AE ABD ACEZADB=ZAEc ZAFE=ZCFd, ZBAC=ZFAe,(SAS)/. ZEAF=ZECdZBCE+ZECD=180oZBCE+ZBAC=180
