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1、6平面向量数量积的坐标表示学习目标核心素养1 .掌握数量积的坐标表达式.(重点)2 .能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系.(重点)3 .了解直线的方向向量的概念.(难点)1 .通过学习直线方向向量的概念及数量积的坐标表示，体会数学抽象素养.2 .通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系，提升数学运算素养.自主预习AjS新SfflH11pSIM.jjXIZ*f新知初援Q1 .平面向量数量积的坐标表示设向量=(,y),b=(X2,”).(I)=xx2+viv2;(2)2=H+y?,即同=,I+M；(3)设向量a与b的夹角为仇则cos6=儡J=心滑(4)今x2+wv2=0.思考
2、1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？提示能.a-Lb0).VZF=10,5A5cos0o=10,解得z=2.*.u(2,4).(2)(ac)=(224(-l)=0Z=0.现件方法进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.跟踪训练1.(1)已知向量=(2,l),b=(-f&),(2一5)=0,则=()A.12B.6C. 6D.12(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CO的中点，点尸在Ao,AF=2FZ),则Bab=.2(I)D(2)Kl)2a。=(
3、4,2)(1,k)=(5,2-&),由a(2a-b)=0f得(2,l)(5,2-k)=0,所以10+2=0,解得C=I2.(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,2),E(2,l),0(2,2),B(0,O),C(2,0),因为/=2而，所以戏，2).所以薪=(2,1),=f,2j-(2,0)所以而盾=(2,1)(一右2)=2X(-)+IX2=IJ【例2】已知=(l,2),b=(l,z),分别确定实数2的取值范围，使得:(Da与力的夹角为直角；(2)与力的夹角为钝角；(3)与力的夹角为锐角.解=(l,2)-(1,2)=1+2%(1)因为。与力的夹角为直角，所以CoS。=0,所以ab=Of即
4、1+22=0,所以=3.(2)因为与b的夹角为钝角，所以cos。V0,且CoSeW1,所以bVO,且与力不反向.由。力VO,得1+2VO,故4VT由与共线得/1=2,故。与力不可能反向.所以/1的取值范围为(一8,g)(3)因为。与的夹角为锐角，所以CoSO0,且COSOW1,所以bO且明办不同向.由。协0,得一,由与b同向得=2.所以/1的取值范围为(一；，2JU(2,+8).规律方法1 .已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式IaI=Yf+y进行计算.2 .求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的
5、模；h(3)由公式cos。=而而，计算CoSe的值；(4)在O,内,由CoSe的值确定角夕跟踪训练2.已知=(l,2),b=(-2,4),c=y5.求|+2如(2)若(+b)c=,求向量。与。的夹角.解(1)。+2方=(1,2)+2(-2,-4)=(-3,一6),a+2Z=(-3)2+(-6)2=35.(2)”=(-2,4)=2(1,2)=-2,*,a-rb=at(a+O)c=-ac=,.设。与C的夹角为Q9C则 cos e=r-；Mc5-25512,2V0,.O=铲,2即与C的夹角为l兀向量的模探究问题1 .由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？提示设Aa1,y),Ba2,
6、”)，则A8=(X2-XI,y2-y)f由向量长度的坐标表示可得HBl=IA8|=J(2-x)2+072-y)2.2 .求向量的坐标一般采用什么方法？提示一般采用设坐标、列方程的方法求解.【例3】设平面向量=(l,l),8=(0,2)求a2b的坐标和模的大小.思路探究I利用向量的坐标运算求得a2b的坐标表示，然后求模.解Va=(l,l),b=(0,2),a-2Z=(1,1)-2(0,2)=(1,-3),：.a-2b=l2+(-3)2=T.母题探究1.将例3中的条件不变，若c=3a-(ab)b,试求c.解。力=IXO+1X2=2,c=3(lJ)-2(0,2)=(3,-1),H=32+(-l)2=
7、i.2 .将例3中的力=(0,2)改为=(0,-2),其他条件不变，若kab与a+b共线，试求攵值.解V=(1,1),b=(0,-2),一b=2(l,l)-(0,-2)=,Z+2).+b=(l,1)+(0,-2)=(1,-1).：kab与a-Vb共线，k+2(-A)=0.：.k=-,3 .将例3中的力=(0,2)改为。=(0,-2),其他条件不变，若久一。的模等于T,试求改值.解ca-b=k()-(Of-2)=氏/:+2),ka-b的模等于而.2+(+2)2=l,化简得F+2Z-3=0,解得A=I或=3.即当女=1或=3时满足条件.律方法求向量的模的两种基本策略(1)字母表示厂的运算利用MF=
8、/,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示厂的运算,若=(x,y),则Q=2=x2+P,于是有IGI=y2+y2.厂7课堂小结F1 .设Q=(X1,y),)=(X2,”)，贝！Ja_LbxiX2+yi”=0.应用该条件要注意：由aLb可得RIX2+y1y2=O;反过来，由xx2+yy2=O可得ab.2 .向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.当堂达标固理基三11gg11WlHNwaTTmCTRTW1 .判断(正确
9、的打“J”，错误的打“X”)若两非零向量的夹角O满足cos0V0,则两向量的夹角0一定是钝(2)若A(J,y),B(X2,”)，则A8=(x2一加)?+任2y尸.()（3）两向量。与）的夹角公式cos 0=xX2-yyz行+而+货的使用范围是a0且bW0.()答案(1)(2)(3)2 .已知。=(一小，-1),Z=(l,3),那么,。的夹角8=()A.30oB.60oC.120oD.150一333Dcos=-V,又因为e0,180,所以。=150。1ZZZ3,已知向量=(l,)，6=(1,)，若2ab与b垂直，则Ial等于()A.1B.2C.2D.4C(2。一力)为=2。力一|例2=2(-1+2)(1+2)=2_3=0,11=3.a=2+n2=2.4.己知。=(一3,-2),=(-4,%,若(5。一力。一3)=-55,试求的坐标.解=(3,-2),6=(-4,江5ab=111,10k).b-3a=(5,Z+6),.(50-1)Q-3a)=(-11,10A)(5,Z+6)=一55(4+IO)(A+6)=-55,(&+10)(&+6)=0,:k=-10或k=-6,.*.=(4,-10)或6=(-4,-6).
