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1、第一章空间向量与立体几何综合提升检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知空间向量=(2x+l,3x,0),人=(l,y,y-3),(其中*、yR),如果b，则工+=()1 .1B.2C.-2D.-I【答案】B【分析】根据空间向量共线的性质进行求解即可.【详解】因为2x+=fy=3所以有4=4hn3x=y4=X+y=2,0(y-3)I故选：B2 .已知A(0,1,1),B(-l,1,1),C(l,0,0),则平面ABC的一个法向量为()A.(0,1,-1)B.(-1,0,I)C.(1,1,1)D.(-1,0,0)【答案】
2、A【分析】由坐标得平面48C上两个不共线的向量，设法向量坐标，列方程解出坐标.【详解】由题A8=(T,0,0),AC=(1,-1,-1),设平面ABC的一个法向量为=(My,z),可得ABn = OAC2=o-x = 0 x-y-z=O选项A中向量(OJ-I)合题意.故选：A.3 .在正四面体4PBC中，过点A作平面PBC的垂线，垂足为。点，点M满足AM=4Q,则尸M=()4A.-PA-PB+-PCB.-PA+-PB+-PC4444441 31113C.-PA+-PB+-PCD.-PAPB+-PC444444【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.【详解】由题知，在正
3、四面体A-PBC中，因为AQ_L平面P8C,所以。是aPBC的中心，连接PQ,则PQ=g(P8+PC),3所以PM=PA+AM=PA+-AQ41321/111=-PA+-(PB+PC)=-PA+-PB+-PC.4432、f444故选：B4.己知正方体A8C。-ASCIA,棱长为1,E,尸分别为棱A8,CG的中点，则()A.直线AA与直线Ef共面B.AE不垂直于AFC.直线AE与直线BF的所成角为60D.三棱锥C1-4。尸的体积为【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，A选项，假设直线AQl与直线所共面，由面面平行的性质得到AE/RF,由AE/GA推出矛盾，A错误；B选项，计算出E4
4、歹二。得到两直线垂直；C选项，利用空间向量夹角余弦公式计算；D选项，利用等体积法求解三棱锥的体积.【详解】如图，以。为原点，以D4,DC，。所在直线分别为,y,Z建立空间直角坐标系，则O(0,0,0),A(I9OtO)fB(LLO),C(0J,0),D1(0,0,1),A(LOQ),B1(1,1,1),C1(0,1,1),0；。)3,3对于A,假设直线AP与直线E尸 平面平面。CGA，平面AEFAI平面A84A=AE,平面OCGA）平面ABqA=A尸,：.AEHD.F,/AE/ClDi,AC1D1/D1F,矛盾, 直线AA与直线E尸不共面，A错误;对于B,AE=（o，1）AF=f-l,l1 1
5、EAF=0+-=0,；AiElF,：.AxElAFfB错误,对于C,设直线AE与直线M所成的角为巴c错误,对于D,.AT,平面OCG乌，,vCl-ADF=vA-ClDF=SGQFAQ=XgXIXl=5,D正确.故选：D.5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于小点E、尸分别是8C、A。的中点，则AEA尸的值为（）A.a1B.ci2C.-cD.a1244【答案】C【分析】根据向量的线性运算运算律可得AEAF=J（48AZ+ACAO）,在根据数显积的定义求其值.4【详解】由题意，48,AD和AUA之间夹角均为60。，结合平面向最线性运算有AE-AF=-(AI3+AC)-AD221.-=
6、-(ABAD+ACAD)4=-(a2cos60+a2cos60)=244故选：C6.如图，在正方体48C。ASGA中,。为体对角线BQ上一点，且。P = 2P4,则异面直线AA和CP所成角的余弦值为（）【答案】A【分析】以点。为坐标原点，OA、DC、OA所在直线分别为X、y、Z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCO-AMGa的棱长为3,利用空间向量法可求得异面直线AA和CP所成角的余弦值.【洋解】以点。为坐标原点DA.DC、OA所在:宜线分别为X、y、Z轴建立如卜图所示的空间直角坐标系，设正方体ABC力-ABCR的棱长为3,则A。,。,。)、A(0,0,3)、C(O,3,0)、O(O,0,0)
7、、4(3,3,3),AA=(-3,0,3),所以，CoS(A5；,Ci=AD1 CPHPi因此，异面直线AA和CP所成角的余弦值为0.故选：A.TTH4 117.己知正方体A8CE-AGR的棱长为2,E、尸分别为上底面力/CA和侧面CoAG的中心，则点。到平面AEr的距离为()【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出点。到平面AM的距离.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0,0),E(l,1,2),户(1,2,1),0(0,2,0),AE=(LI,2),AF=(1,2,1),40=(0,2,0)AEn=x+y+2z=0，令z=-l,n=(3,-1,-1)AFn=x+2y+
8、z=0则点D到平面AEF的距离为-AdT故选：A218点A在线段BC上（不含端点），。为直线8C外一点，且满足0-=则立法+国的的最小值为（）D.【答案】D再利用基本不等式T的妙用即可得解.【分析】根据平面向量共线定理推论可得+3=l且00,【详解】因为OA-03-2力Oe=0，所以OA=O8+%C，又点A在线段BC匕（不含端点），所以+3=l,且O,bO,则2+。+2+=5,212121所以=-77F7；=F“k3+4ba+3b2(a+2b)+a(a+2b)+b2+a+b= (2 + a + 2 + 2Z)2212+a2+2b1 4 I 2(2 + ) I 2(2+ 2) 52 + 2b 2
9、 + a/2(2+ ) 2(2+ 2份N- 4 + Za I5 V 2 + 2b 2 + a2(2 + fl) 2(2 + 2) 当且仅当 2 + 2b - 2 + 4a + 2b = l7即:时,b = -4等号成立,21F3 + 4b a + 3bQ 的最小值为会故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。C. A,-AD+B,D, = 0B. AA:-AB + B,C = BD,9 .如图，E,尸分别是长方体ABCD-AEC。的棱48,Co的中点，化简下列结果正确的是()D.AB+
10、CF=AF【答案】AB【分析】根据空间向量线性运算的性质逐一判断即可.【详解】A：AA,-CB=AA,+AD=AD,因此本选项正确；B：AA,-AB+BC=BA,+A,D,=BD，因此本选项正确；C：AB,-AD+B,D,=AD,-AD=DD,0因此本选项不正确;D：AB+CF=AB-EB=AEAF因此本选项不正确，故选：AB10 .己知空间向量1=(-2,-l,l),6=(3,4,5),则下列结论正确的是()A. lab/aC. aJ_(5a + 4)B,5=3D在)上的投影向量的长度为日【答案】BD【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决.【详解
11、】对于A,由题得次+5=(-1,2,7),4 = (-2,-1,1),而今2 7 - -1 1故A不正确;对于B,因为|=#,|切=5五，所以5同=GM,故B正确;对于C,因为G(5a+4)=(_2,_l,l(2,l,25)=0w0,故C不正确；XJ-T-D,因为。在A上的投影向量的长度为卜cos(a,b=辟=相=孝，故D正确;故选：BD.11.如图，在棱长为1的正方体AsGA中，。是棱QA上的动点，则下列说法正确的是()A.不存在点。，使得GQ/ACB.存在点。，使得GQL1CC.对于任意点Q,。到AC的距离的取值范围为曰,手D.对于任意点Q,ACQ都是钝角三角形【答案】ABC【分析】建立空
12、间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.【详解】由题知，在正方体ABC。-AqGR中，Q是棱。A上的动点，建M以A为原点,分别以AB，AO，AA的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向的空间直角坐标系A-孙z.所以A(0,0,1)，c(l,l,),G(IJl),设Q(0,1m),其中0l,所以GQ=(T，。，。-1)，AC=(U-I),1=2当CQ=；MlC时，即(ToM-I)=7(1,1,-1),所以0=2,显然方程组无解，a-I=-A所以不存在几使得G0=X41C,即不存在点Q，使得GQA。，故A项正确；当GQ4C=+o+-=。时，解得。=0，故B项正确；因为AQ=(O，1，。-1)，其中o,所
13、以点。到AC的距离为AQACl + (一)2曹I故C项正确;因为C = (l,O,-4), QA=(O,T,l-),其中0l,所以 CoS(QC,04)QCQAIQqlQAl y + a2 y+(-a)2 1 + 2 J1 + (1-)o所以三角形为ACQ直角三角形或钝角三角形，故D项错误.故选：ABC12.如图，在平行六面体48C。-ASGA中，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且NzMB = NDAA=N841= 60。，则下列说法中正确的有（）D C.B / 予 /A. BD1 =AAi+AD-ABB. BD1 =2C. AC1 BDD.直线8。与AC所成角的余弦值为立【答案】ACD【分析
14、】选项A,由空间向量的线性运算法则，即可判断；选项B,将Ba=A+4）-M两边平方，再结合数依枳的运修法则，即可得解：选项C,计算aCM=O,得解；选项D,先计算可得4bR=1,再由8s(叫,A。=向炭P即可解得.【详解】选项A,BD1=I3A+AD+DD1=AAi+AD-AB,即正确；选项B,BD：=(1+D-)2=11?AD2+1ABp+2AA,AD-2AA,AB-2ADAB=l+l+l+2llcos60o-2llcos60o-2llcos60o=2,则,Hi=，即错误；选项c,ac1bd=(ab+ad+a41)(ad-ab)=ABAD-AB2+AD2-ADAB+A41AD-AA1AB=O即选项C正确；选项D,ACBDi=(AAI+AD-AB)(AB+4。)=AVA5+A4,A。+AO
