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1、绝密考试结束前全国2018年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码:02198请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。说明：在本卷中，lr表示矩阵V的转置矩阵，/表示矩阵/1的伴随矩阵，E是单位矩阵，Hl表示方阵力的行列式，r（表示矩阵力的秩.选择题部分注意事项：1 .答题前,考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2 .每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项
2、是最符合题目要求的，请将其选出。1 .设2阶行列式如2%=rn,则（%=a2aa22a2a2a22A.-2mB.一2C.=D.2m2 22 .设4为2阶矩阵，若己知/=g贝U/=3 .设向量组%,由，线性无关，则下列向量组中线性无关的是A.01,2a2,3a3B.al-a2.a2-a3ta3-a1C.%,2%,a2-a3D.a1+a2,a2-a3,al+2a2-a34 .设2阶矩阵力满足2E+H=0,3Z-E=0,则同=A.B.D.T-20、则二次型r4c的规范形为5 .设矩阵Z=-240D. +Zj、00I,非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。
3、二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。1236 .设/(X)=23X,则方程/(x)=0的全部根为3x8150、7 .设V=I40,则/IT=、003,8 .设4为3阶矩阵，M=-L则行列式尸+34=.32(O020,7123、9.10 .设向量万=。,0,0)T可由向量组=(l,L)T,a?=。,)1%=(。，1，I)T线性表出，且表示法惟一，则口的取值应满足.11 .设向量组=(LZ-I)L4=(o,-4,5)T,%=(2,0)T的秩为2,则C.1-22、12 .设4=21-1，则3元齐次线性方程组4r=0的通解为T1,13 .设a=-2为阶矩阵力的一个特征值，则矩阵2E-3
4、/2必有一个特征值为.314 .设2阶实对称矩阵4的特征值为-2,2,贝U?=.15 .设二次型/(/2)=/片+4-4，不正定，则实数，的取值范围是.三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分。-23001-23016 .计算4阶行列式O=0-239001-2011、17 .设矩阵4=101,求/TlJ10171、18 .设3阶矩阵力与5满足Z5+E=z2+5,其中Z=120,求矩阵反21-L19 .求向量组0=(2,l,3,-l)T,2=(3,-l,2,0),j=(1,3,4,-2),4=(4,-3,1,1尸的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量由该极大线性无关组线性表出.xi-x2
5、=a20 .已知线性方程组工2-3=。2毛一天=4(1)讨论常数q,4,4满足什么条件时，方程组有解.(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).1-1-1、21 .设矩阵Z=-302,判定为是否可对角化并说明理由.311J22 .求正交变换X=Qy,将二次型/（X,X2，X3）=x；+x；+君+2再*2+2不修+2巧工3化为标准形.四、证明题：本题7分。23 .设阶实对称矩阵力满足4=E,证明力的特征值只能是L绝密启用前2018年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题答案及评分参考（课程代码02198）一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2
6、分，共K）分.1.C2.C3.A二、填空题：本大题共10小题，每小题2分6.x=5,Xj-78.-310.。/-2且。工】12.c（0,1,l）T,c为任意常数三g）三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，16.解将行列式按第I行展开：-230I3D-21-23-30-201-20I=-24-3l三-ll4.B5,D-4507.1-I0、,2139.546、879)II.315.0Z-4共63分.34分-29分线性代数试题答案及评分参考第1页（共4页）17.解由于O1IM=IO1=20.故4可逆110OII!1Oo,9分-11I:0,loO-l2l2l2-I/2I/21/218.解(I)48+
7、E=1+6可化为(A-E)B=(A-E)(A+E)由于a-e0-111102I-2用(4-)T左乘(I)式两边,得到2-II32119.解(01,2.j.4可知向量组的秩为2：%,a2为一个极大线性无关组，并且有,=2a-a24=-a1+Ia2(答案不惟一)20.解(D由于方程组的增广矩阵fl-I0IO1A =(4。)=1 -I ; 2 0 I -IOOOq+a1+%可知，当q+4+a,=O时，（八）=r（八）.方程组有解.(2)当4+%+4=0时，r(G=r(N)=23,方程组有无穷多解,此时, -I 0 * *0 -1 J l +得到xl 1+02+x, =+j+if _ 4)=oV分33
8、21.解由 f- =从而通解为* =(4+6通,0+大。,1,户(*为任意常数).9分得到4的特征值为4=4=T,4=4对于4=1=T,求解齐次线性方程组(-4)x=0,由(-E-A)得基础解系=(IJl)T,(或r(-E-4)=2Hl)可知/的2重特征值=t=T只有1个线性无关的特征向量,因此4不可对角化.22.解二次型的矩阵，=I1I,由E-A-1-l-1=-3)=0-1-12-12分得4的特征值为4=3,4=4=0对于4=3,求解齐次线性方程组(3E-4)x=0,由,2-I-A(O-13E-A=-12-1O1-1C-I2)oO0,得到基础解系=,M,单位化，得到力=，t+)T4分对于4=4=0,求解齐次线性方程组(-4)x=0,由-A=-I-I-1OOO-1-1-1J(OOO得到基础解系=(7，1，0尸,。3=(TOJ)T,HrL(-米噎高6分将它们正交化，得户2=。2=(T，1，。)，夕3HI)T，再单位化，得(令。=(九,力，乃)，则Q为正交矩阵，从而经正交变换X=QIy,将原二次型化为标准形3寸.9分、证明题：本题7分.23.证设4为4的对应于特征值久的特征向量,则花4f=442分由/=,=E=At.5分从而。-万片=0,E(l-+2g=0.而4w所以有(l-ai+i+万)=0,此方程只有一个实根2=1又实对称矩阵的特征值只能是实数，所以4的特征值只能为I.7分
