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1、二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点一、平面直角坐标系1,平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做X轴或横轴,取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点0（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被X轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:X轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a,b）表达,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后，中间有“，”分开,横、纵坐标的位置不能
2、颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当WZ?时，（a,b）和（b,a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特性1、各象限内点的坐标的特性点P（,y）在第一象限OX0,y0点P（x,丫）在第二象限0%0,0点P（x,y）在第三象限UxO,y0,丁0b0_/kyL/X图像通过一、二、三象限，y随X的增大而增大。b0y0/图像通过一、三、四象限,y随X的增大而增大。K0y,图像通过一、二、四象限,y随X的增大而减小b0时，图像通过第一、三象限,y随X的增大而增大;(2)当k0时,y随X的增大而增大(2)当k0时，y随X的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的拟定拟定一个正比例函数，就
3、是要拟定正比例函数定义式y=Zx(k0)中的常数ko拟定一个一次函数，需要拟定一次函数定义式y=Zx+6(k0)中的常数k和bo解这类问题的一般方法是待定系数法知识点五、反比例函数1、反比例函数的概念一般地,函数y=K(k是常数，ko)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=K-X的形式。自变量X的取值范围是XWO的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量xHO,函数y0,所以，它的图像与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐
4、标轴,但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的拟定拟定及误是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=幺中,只有一个待定系数，因此只需要一X对相应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而拟定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数），二七（女WO）图像上任一点P作X轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形XkPMON的面积S=PMPN=HW=同。Py=一,孙=SS=M知识点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，假如特丁=办2+以4也。是常数，0）,特别注意a不为零那么y叫做X的二次函数。y=or?+尿+eg,。,。是常数，。0）叫
5、做二次函数的一般式。二次函数的图像是一条关于X=-A对称的曲线,这条曲线叫抛物线。2a抛物线的重要特性：有开口方向；有对称轴：有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线y=ax2+hx+c与坐标轴的交点：当抛物线与X轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点Do将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。当抛物线与X轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D点可粗略地画出二次函数的草图。假如需要画出比
6、较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。知识点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般两根三顶点(1)一般一般式:y=ar?+云+。(4,瓦。是常数,aQ)(2)两根当抛物线y=+u;+C与X轴有交点时,即相应二次好方程办2+/+c=0有实根匹和马存在时，根据二次三项式的分解因式4小+bx+c=a(x-x)(x-2),二次函数y=2+云+c可转化为两根式丁=4(%一2)“一)。假如没有交点，则不能这样表达。a的绝对值越大,抛物线的开口越小。三顶点顶点式：），=。（上一）2+攵（4/2次是常数，（）知识点八、二次函数的最值假如自变量的取值范
7、围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-2时，2a_4ac-b2总值=Fr假如自变量的取值范围是玉x%2,那么，一方面要看-2是否在自变量取值范围须XX22ab4acb?内，若在此范围内，则当=-2时，y=WC。；若不在此范围内，则需要考虑函数在2a啊4aX1xx2范围内的增减性，假如在此范围内，y随X的增大而增大，则当X=X2时，y最大=。君+Zu;2+*当X=Xl时、）小小=以；+h+C；假如在此范围内，y随X的增大而减小，则当X=Xl时，y般大=+bxl+Cf当X=X2时，）母小=ax2+bx2+c0aO图像y性质(1)抛物线中平匕并向上无限延伸：(2)对称轴是X
8、=-,顶点坐标是2ab4ac-b2(一,7)；2a4。(3)在对称轴的左侧,即当x-2时，y随X的2a增大而减小；在对称轴的右侧，即当X_L时，y随X的增大而增大，简记左2a减右增；(4)抛物线有最低点,当x=-上时，y有最小2a也4ac-b2值，y最小值二一(3)在对称轴的左侧，即当x-2时，y随X的增大而减小，简记2a左增右减；(4)抛物线有最高点,当乂=-2时,有最大2a任4ac-b2值，y最大值二一一2、二次函数y=02+b%+c(,b,c是常数,40)中,.、b、C的含义:。表达开口方向：。0时，抛物线开口向上0时,抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为X=2aC表达抛物线与y轴的交
9、点坐标：(0,c)3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其相应的二次函数的图像与X轴的交点坐标。因此一元二次方程中的=b2-40c,在二次函数中表达图像与x轴是否有交点。当（）时,图像与X轴有两个交点；当A=O时,图像与X轴有一个交点；当v时,图像与X轴没有交点。知识点十中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当碰到没有思绪的题时,可用此方法拓展思绪,以寻求解题方法）ym如图：点A坐标为（X,y）点B坐标为（x2,y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为J（M-X2+（%-%FA*0XB2,二次函数图象的平移将抛物线解析式转化成顶点式.v=（x-+z,拟
10、定其顶点坐标仅，攵）；保持抛物线=r2的形状不变，将其顶点平移到小，A）处,具体平移方法如下:y=2向右30）1或左优0）】 平移阳个单位向上（Qo）或下（10） 平移因个单位向右30）【或左（辰0）】 平移阳个单位向上（QO）或向下仕0）】平移因个单位 -A y=ax-+k向上（QO）或下依0）】平移因个单位 ALy=WJM+A向右（力0）【或左SV0）】 平移比I个单位y-a(x-h)-平移规律在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;A值正上移，负下移”.函数平移图像大体位置规律（中考试题中，只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆一同左上加异右下减（必须理解记忆）说明函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：y_yb为直
