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1、表示).解:分二步:首尾必须播放公益广告的有Az?种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22A4,=48.从而应填48.(3)对排列组合的混合题,一般先选再排,即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三.基此题型及方法:1.相邻问题(1)、全相邻问题,捆邦法例2、6名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有(C)种。A)720B)360C)240D)120说明:从上述解法可以看出,所谓“捆邦法”,就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时,可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。(2)、全不相邻问题,插空法排列组合应用题的类型及解题策略一.处理排列组合应用题的
2、一般步骤为:明确要完成的是一件什么事(审题)有序还是无序分步还是分类。二.处理排列组合应用题的规律(1) 两种思路:直接法,间接法。(2) 两种途径:元素分析法,位置分析法。解决问题的入手点是:特殊元素优先考虑;特殊位置优先考虑。特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,那么共有种不同的播放方式(结果用数值将其它元素排好,再将特殊元素插入,故叫插空法。(3) .不全相邻排除法,
3、排除处理例5.五个人站成一排,其中甲、乙、丙三人有两人相邻,有多少排法?解:耳-或3A我A;=72例6.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是2、顺序一定,除法处理或分类法。例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号,现有3面红旗、2面白旗,把5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是()(用数字作答)。解:5面旗全排列有8种挂,由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法,故有4=10例8,某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完例3、要
4、排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少不同的排法,解:先将6个歌唱节目排好,其中不同的排法有6!,这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法,由乘法原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为四用种例4高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,那么不同排法的种数是(八)1800(B)3600(C)4320(D)5040解:不同排法的种数为M&=3600,应选B说明:从解题过程可以看出,不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它隔开,此类问题可以先例IL设集合/=1
5、23,4,5。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,那么不同的选择方法共有A.50种B.49种C.48种D.47种总计有49种,选B.例12将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,那么不同的放球方法有AA.10种B.20种C.36种D.52种说明:元素多,取出的情况也多种,可按要求分成互不相容的几类情况分别计算,最后总计。5、交叉问题,集合法(二元否认问题,依次分类)。例13、从6名运发动中选出4名参加4X100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?252成后才能进行,有工程丁
6、必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是o(用数字作答)解一:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中(插一个或二个),可得有&+5x8=30种不同排法。解二:*30例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位的数字的共有()A)210个B)300个C)464个D)600个解:g&6=300应选(B)4、多元问题,分类法例10.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个遥远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,那么不同的选派方案共有种共有600种不同的选派方案.第一个出场,另一名歌手不最
7、后一个出场,不同排法的总数是.(用数字作答)。(答:78种)说明:某些排列组合问题几局部之间有交集,可用集合中求元素的个数的公式来求解。6、多排问题,单排法例17、两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,假设8名学生入座(每人一座位),那么不同的座法为A)B4或C)反&D)履解:此题分两排座可以看成是一排座,故有履种座法。选(D)说明:把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。7、至少问题,分类法或间接法(排除处理)例18.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,假设这3人中至少有1名女生,那么选派方例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六
8、门课程,且上午安排四节课,下午安排两节课。(1)假设第一节不排体育,下午第一节不排数学,一共有多少种不同的排课方法?(2)假设要求数学、物理、化学不能排在一起(上午第四节与下午第一节不算连排),一共有多少种不同的排课方法?例15、同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,那么四张贺年卡不同的分配方式有(B)A)6种B)9种C)11种D)23种说明:求解二元否认问题可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依此即可完成。例16、安排5名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不(八)3O种(B)9O种(C)18O种(D)27O种说明:含“至多”或“至少”的
9、排列组合问题,是需要分类问题,或排除法。排除法,适用于反面情况明确且易于计算的情况。8、局部符合条件淘汰法例2L四面体的顶点各棱中点共有IO个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(D)A)150种B)147种C)144种D)141种解:10个点取4个点共有种取法,其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面,这样的面共有6个,又各棱中点共6个点,有四点共面的平面有3个,故符合条件不共面的平面有C1-4C-6-3=141案共有(八)108种(B)186种(C)216种(D)270种解析:从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有-田二186种,选B.例19.5名乒乓球队员中,有2名
10、老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,那么入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有种.(以数作答)【解析】两老一新时,有用=12种排法;两新一老时,有CcXA;=36种排法,即共有48种排法.【点评】此题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例20将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,那么不同的分配方案有B分配问题:随机分配,先组后排。定额分配,组合处理;例23。有9本不同的书:(1)分给甲2本,乙3本,丙4本;(2)分给三个人,分别得2本,3本,4本。上述问题各有多少种不同的分法?(1)此题是定
11、额分配问题,先让甲选,有C;种;再让乙选,有亡种;剩下的给丙,有c:种,共有c;CM:种不同的分法(2)此题是随机分配问题:先将9本书分成2本,3本,4本共有三堆,再将三堆分给三个人,共有C;G.C:.&种不同的分法。例24:对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止,假设所有次品恰好在第5次测试时被全部发现,那么这样的测试方法有多少种可能?解:第5次必测出一次品,余下3件次品在前4次被测出,从4件中确定最后一件次品有C种方法,前4次中应有1件正品、3件次品,有爆亡种,前4次测试中的顺序有A:种,由分步计数原理即得:U(C值)A:=576o【评述】此题涉及一类重要
12、问题:问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先选元素(即组合)后排列说明:在选取总数中,只有一局部符合条件,可从总数中减去不符合条件数,即为所求Q9.分组问题与分配问题分组问题:均匀分组,除法处理;非均匀分组,组合处理例22。有9个不同的文具盒:(1)将其平均分成三组;(2)将其分成三组,每组个数2,3,40上述问题各有多少种不同的分法?分析:(1)此题属于分组问题:先取3个为第一组,有C;种分法,再取3个不第二组,有屐种分法,剩下3个为第三组,有C;种分法,由于三组之间没有顺序,故有坐G种分法。(2)同(1),共有C;CC:种分法,因三组个数各不相同,故不必再除以国。练习:12个学生平
13、均分成3组,参加制作航空模型活动,3个教师各参加一组进行指导,问有多少种分组方法?个相同的小球分给三人,每人至少1个,有多少种方法?)分析:将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三局部的球数分别为X.y.z之值(如图)OOOOOOOOOO那么隔板与解的个数之间建立了一一对立关系,故解的个数为C;=36个。实际运用隔板法解题时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明:技巧一:添加球数用隔板法。例27.求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。分析:注意到X、y、Z可以为零,故上题解法中的限定“每空
14、至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢?只要添加三个球,给x、y、z各一个球。这样原问题就转化练习:1。3名教师分配到6个班里,各人教不同的班级,假设每人教2个班,有多少种分配方法?C-C;C;=902.将10本不同的专著分成3本,3本,3本和1本,分别交给4位学者阅读,问有多少种不同的分法?。2困例25某外商方案在四个候选城市投资3个不同的工程,且在同一个城市投资的工程不超过2个,那么该外商不同的投资方案有()A.16种B.36种C.42种D.60种解析:有两种情况,一是在两个城市分别投资1个工程、2个工程,此时有GM=36,二是在在两个城市分别投资1,1,1个工程,此时有A”24,共有应选(
15、D)10,隔板法:隔板法及其应用技巧在排列组合中,对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中,每盒至少一个,求方法数的问题,常用隔板法。见下例:例26o求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即:10【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。技巧三:先后插入用隔板法。例29。为构建和谐社会出一份力,一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添2个小品节目,那么不同的排列方法有多少种?分析:记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数,相当于把4个球分成两堆,由例26知有C;种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需参加的B节目前后的节目数,同上理知有煤种方法。故由乘法原理知,共有CC:=30种方法。11.数字问题(组成无重复数字的整数)能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。为求xyz三13的正整数解的个数了,故解的个数为个二66个。【小结】本例通过添加球数,将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。技巧二:减少球数用隔板法。例28.将20个