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1、3.32抛物线的几何性质课程标准学习目标能通过抛物线的方程推出它的简单几何性质，进一步体会数形结合思想.(1)掌握抛物线的几何性质.(2)会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点Ol抛物线的简单几何性质抛物线标准方程/=2px(p0)的几何性质范围：xx0,yyR,抛物线V=2px(p0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)的横坐标满足不等式xO;当X的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线.对称性：关于X轴对称抛物线y2=2px(0)关于X轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.顶点：坐标原点
2、抛物线5=2p(0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是(0,0).离心率：e=.抛物线V=2p(0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表不，e=l.抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径.因为通过抛物线V=2px(p0)的焦点而垂直于X轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为(导p)(，-)，所以抛物线的通径长为2”.这就是抛物线标准方程中2的一种几何意义.另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄.【即学即练1】(多选题)(2023,高二课时练习)对
3、标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线丁=IOx的有()A.焦点在y轴上B.焦点在X轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)【答案】BD【解析】由抛物线y2=IOx的焦点坐标为尸,0),位于X轴上，所以A不满足，B满足；对于C中，设M(l,%)是抛物线V=上一点，尸为焦点，贝q=l+=l+=g6,所以C不满足对于D中，由于抛物线V=10的焦点为广(|,0),若由原点向该直线作乖线，乖足为(2,1),设过该焦点的直线方程为y=Mx-),则欠=-2,此时该直线存在，所以D满足.故选：BD.知识点02抛物线标准方程几何性质的对比图形
4、4标准方程y2=2px(p0)y2=2px(p0)X2=2py(p0)X2=2py(p0)顶点ao,o)范围.r0,y?x0,yeRy0,XWRy0恰恰说明定义中的焦点产不在准线/上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值,才易于确定焦点坐标和准线方程.【即学即练2】(多选题)(2023广东佛山高二统考期末)已知抛物线C:V=4的焦点为E过户的直线与C交于4、8两点，且A在X轴上方，过4、8分别作C的准线/的垂线，垂足分别为4、B)则()A.OAA.OBB.若IAFl=5,则A的纵坐标为4C.若AF=2FB,则直线AB的斜率为2D.以/V*为直径
5、的圆与直线A8相切于尸【答案】BCD【解析】由题意可得：抛物线C：丁=叙的焦点尸(1,0),准线/：x=T,设直线为X二吁0),8信必)，则4(T,y),9(Ty?)，JVI)，=：X，消去y可得：y2-4my-4=0.则=16/+160,y1+y2=4m,yy2=-4,ULr(V2、UlM(#、对A：.OA=,08=，I4I47UUTIUB(V,LfOAOB=-+y1y2=-30*162.,.OA.OB不相互垂直，A错误；对B：.AF=1=5,则y=4或=4(舍去)，洛的纵坐标为4,B正确；UIIO(v2UIfv2对C：Ar=l-勺yFB=玄_1,网)且A尸=2所，-Ji=2%1=22X=-
6、20-X=2%，则，yl+y2=4mt解得,.y2=-近或，M=应(舍去),JM=-42m=42m=4故直线AB的斜率A=L=2四，C正确:m对D：V=4mA,B,=(y1+y2)2-4y1+y2=4+l,A1B1的中点M(T2)到直线AB的距离d =-1 -2w-ljm2 +1= 2+I=iA,B,又VMF=4+W=2m2+1=A,B,故以AE为直径的圆与直线43相切JFfD正确;故选：BCD.知识点03焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为(%),焦点、为F.1、抛物线y2=2px(p0),P尸I=AJ+5=不+5.2、抛物线V=-2PX(P0),PF=x0-=-x0+-3、抛物线2=2py0
7、),仍尸J=%+与=先+与.4、抛物线d=_2p)，(p0),PF=y0-=-y0+-.【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【即学即练3】(2023云南昭通高二校考期中)设第四象限的点P(m,)为抛物线丁=上一点，尸为焦点，若IP尸|=6,则=()A.4B.-42C.-22D.32【答案】B【解析】由抛物线的方程可得焦点坐标为(2,0),由抛物线的性质可得IPFI=m+2=6,所以加=4,将尸的坐标代入抛物线的方程：=8x4,所以=4母，又因为P在第四象限，所以=TL故选：B.知识点04直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置
8、关系有三种情况：相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点).2、以抛物线y2=2px(p0)与直线的位置关系为例：(1)直线的斜率不存在，设直线方程为X=。，若。0,直线与抛物线有两个交点；若。=0,直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若。0),直线与抛物线的交点的个数等于方程组的解的个数，y=2px即二次方程+2(幼一P)X+/=0(或&2y2-2py+27=0)解的个数.若A0,则当()时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当A=O时，直线与抛物线相切，有个公共点；当A0)相交，有一个公共点.【即学即练4(2023全国高二课堂例题)(1)求过定点P
9、(T,1),且与抛物线J=2x只有一个公共点的直线/的方程.(2)若直线/：y=(+l)xT与曲线Cy2=r(a0)恰好有一个公共点，试求实数的取值集合.【解析】(1)由题意知，直线的斜率存在.设直线斜率为A,则切线方程为y-l=x+l),由Py+1)+1消去X,得处2_2y+2A+2=0.y=2x当2=0时，此时直线y=,与抛物线只有一个公共点g,l)；当A0时，所以A=4-4M2L+2)=0,解得&=昔叵，即过M点的切线有两条.所求直线/的方程为(6-1卜-2丁+6+1=0或(1+6卜+2产6-1=0.综上所述，所求直线/的方程为y=l,(3-l)x-2y+3+l=0,或(1+6卜+2“百
10、-1=0.(2)因为直线/与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组T只有一组实数解，y=ax消去了，得(+l)x-l=OV,即(4+l)22(3+2)x+l=0(D.当4+1=0,即=T时,直线为严-1,直线与曲线恰一个公共点(T,-D；当+lw,即OH-I时，由A=(3+2)2-4(+l)2=a(54+4)=0,解得a=0(舍去)或=-.4当=-M时，由方程化为+5)2=0,解得=_5,代入直线方程为y=gx-l,解得产-2,即此时直线与曲线恰个公共点(-5,-2).综上，实数的取值集合是-l,-1知识点05直线与抛物线相交弦长问题1、弦长设Ae为抛物线V=2px(p0)的弦，AUpj1),B(
11、x2,y2)f弦AB的中点为%).(1)弦长公式：ab=i+Fx1-2=+p-y1-y2(A为直线ab的斜率，且后工0).(2)心=，y0(3)直线AB的方程为y-%=(%-%).%【即学即练5(2023四川绵阳高二盐亭中学校考期中)己知抛物线的方程为y2=4xf过其焦点尸的直线交抛物线于AB两点，若4F=3F8,A却=()1.16A.J2B.3C.D.2【答案】C【解析】如下图所示：易知产(1,0),不妨设A(Xl,*),8(再,)；设直线的方程为x=my+l,与V=4x联立消去X得，y2-Atny-4=0.由韦达定理可知X+%=4m,y%=-4:由=3所可得Y=-3%；联立解得必=一26十
12、=(BPm2=1；根据焦点弦公式可得IAM=N+x2+2=町+1+四，2+1+2=m(乂+%)+4；代入计算可得IAM=4/+4=y.故选：C【方法技巧与总结】1、点尸(小,为)与抛物线y2=2p(p0)的关系(1)尸在抛物线内(含焦点)Uyjv2pxu(2)尸在抛物线上0n；=2pm.(3) P在抛物线外=y2px0.2、焦半径抛物线上的点P(XO,%)与焦点户的距离称为焦半径，若y2=2px(p0),则焦半径IP尸|=%+5，IpfI=R.IImax23、p(pO)的几何意义P为焦点/到准线/的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.4、焦点弦若AB为抛物线=2px(p0)的焦点弦，A(xp
13、l),Bx2,y2),则有以下结论:(1)XX2=.m4yMT.(3)焦点弦长公式1：AB=xl+x2+pt.+再2yXX2=P,当N=X2时，焦点弦取最小值2p,即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p.焦点弦长公式2：,=(为直线”“与对称轴的夹角).(4) AO8的面积公式：SMoB=-(为直线AB与对称轴的夹角).2sina5、抛物线的弦若AB为抛物线V=2px(p0)的任意一条弦，(x1,y1),y2),弦的中点为M(Xo,%)(打工0),则(1)弦长公式:ab = i + a2Wrl = JI+|y-y2 = ）(3)直线A8的方程为y-%=上x-Xo)为(4)线段的垂直平分线方程为y-%=-&(X-An)P6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法(4法)4(1) V=Ar(AO)焦点为(A。，准线为=一444(2) f=Ay(A0)焦点为(0,4),准线为了=一24-4如y=4f,即/=2,焦
