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1、弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性摘要：分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略不变性，解决了关于这个问题的争论.关键词：轻质弹簧；伽利略不变性；力学相对性原理；机械能守恒中图分类号：0313.1文献标识码：A参考文献118都有这样一个题目：一质量为7的小球与一劲度系数为人的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以速度相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由.小球与弹簧组成弹簧振子体系，所以小球的机械能就是弹簧振子体系的机械能
2、（因为弹簧质量为0,没有质量代表没有能量，与实验中的弹簧不一致.）；在这里的研究对象只有一个质点（不能认为是一个准多体动力模型），在弹簧振子中的势能是一种特殊形式的势能，由于不考虑弹簧的质量，因此可以类比场能（在经典力学里场不考虑质量，可以不用考虑场一一轻质弹簧的能量，例如质点在重力场中运动我们只考虑质点的势能，没有考虑重力场的能量，在弹簧振子问题中是振子的弹性势能，不是弹簧的弹性势能.这和实验中的弹簧不一样，实验中的弹簧都有质量，也具有弹性势能，这是理解这个问题的关键点所在.）.在某种意义上可以和重力场类比，只不过这里可以吸引和排斥，力的强度与位移成正比.我们研究重力场质点的运动时，我们并没
3、有把地球对于重力场的作用力和重力场对于质点的作用力说成是两个力,类似地在单摆问题中我们并没有把悬挂点对于摆线的作用力和摆线对于摆锤的作用力看成是两个力，在这个问题中约束力和保守力是同一个力，笔者认为单摆的摆线（也认为质量为0）可以认为是劲度系数充分大的弹簧.本题假设地球质量为充分大，忽略地球能量的变化，按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.牛顿力学建立之初，物理学还没有引入场的概念，不过今天来看，近似看做是一种场是最合适的表达，此时不用考虑场的质量.弹簧固定在墙上，墙对弹簧的约束反力是被动力，依赖弹力而存在，不可单独考虑墙壁的作用力，弹力是稳定的周期力，振动的弹簧小球系统是一个稳
4、定态系统，不能误认为是显含时间的力（朗道的书力学中说，在惯性参考系中自由运动的质点，由于时间和空间的均匀性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函数不显含时间和广义坐标和速度的方向）.在物理中，稳态和静态还不同，例如重力场是静态场，在本题中的弹力场是稳态场.对于力场不随时间改变的稳定力场来说，等时路径积分与随体积分是相等的，所以势函数的定义就没有积分的等时间性要求，甚至也没有根据质点实际的动力学随体计算的要求，完全可以随轨迹以任何速度计算积分，结果都一样，并且为简单起见，势能的零点位置应该固定不变.我们当初定义弹簧的劲度系数的时候，利用一端受力，另一端虽然受力但是我们当作固定端不予考虑,所以在本题中
5、如果再单独计算墙对于弹簧做功就重复了，才出现了机械能不守恒的错误.如果考虑墙对于弹簧所做的功，显然可以测量出小车相对于墙的运动速度,这与力学相对性原理(不可能借助在惯性系中所做的力学实验来确定该参考系做匀速直线运动的速度)是不符合的.解：(地球的质量视为充分大，从而稳定地保持为惯性系)在水平面上受稳定约束的弹簧振子运动模型，实质上是一个与距离r成正比有心力作用下质点的运动问题.在地面参照系上观察时，小球的平衡位置为坐标原点，以水平向右的直线以为X轴，建立直线坐标系如图1所示.墙4JC11LJ(.LICCr光滑水平地面图1弹簧振动握子机械能守恒问题新解当仁O时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使
6、之做简谐振动，则小球的位移为：x=Acos(),其中2=km,k=m1.设小球的速度为。，加速度为m受到的力为f动能为EQ),势能为当，机械能为戊力则有:dxdu(1)v=一=-sin(),a=一=-2Acos(),f=ma=-m2Acos(t)=-kx.drdrEk(O=mv2=m-Asin()2=m2A2sin2(t)=M2sin2().2222dEp()=*dx=kxdx=d(g&dEPa)=；kx1+C.将初始条件UO时，AA,Ep(O)M2,代入上式得：-M2=Ep(O)=-JlA2+C,C=0,Ep(r)=-kx2+C=-kx2+O=-M2cos2().(2)22222Ea)=EP
7、(D+瓦=；M2cos2()+；M2sin2()=；乂2=常数.(3)设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度作匀速运动的参考系(设为小车，见图1)刚开始相对运动时完全重合，开始相对运动后，当仁0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动.从上面的计算可以看出，在弹簧振子中弹性势能本质上是小球的势能，不是弹簧的弹性势能，很多人误认为是弹簧的弹性势能，也是造成这个问题讨论多年出现失误的原因，文献114坚持错误认为是弹簧的弹性势能，才设计出所谓的反证法的实例.实验中的弹簧具有势能是因为具有质量，与弹簧振子中的弹簧有着本质的区别.Ep=12=1mc022,如果这样表达弹性势能，就可以看出弹性势能
8、属于小球，而不是22属于弹簧.这样可以发现势能与质量成正比，符合质能方程的要求.由于弹簧和小球连接在一起，物理量之间存在着联系，因此可以等效认为属于弹簧（因为弹簧忽略质量，经典力学中我们一般认为势能属于质点,不属于场）.设在小车参照系上观察时，小球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别为汨,VitaitfitEik（l）,Eip（t）E（t）则有:./、dx,./、d,./、x=x-ut=Acos(t)-ut,v=-i-=-Asnt)-u,a=L=-G-ACOS(Of)=drdr/尸加0=也=_相/24：05（3）二-心；.（说明：f-kx,胡克定律不具有伽利略变换的不变性，胡
9、克定律不是牛顿定律的推论，不代表经典力学不满足力学相对性原理，文献14错误地认为胡克定律具有伽利略变换的不变性，从而得出错误地结论.).1 211Eik(I)=mv；=m-Asin(t)-u2=-m2A2sn2(t)+2uAsin(t)+2=222kA2sin2(ty)+muAsin(t)+-mu2.(4)2 2根据势能定理可知dEp(t)=-fdx=kxd(x-ut)=kxdx-kuAcos(t)dt=d-nuAsn(t),Eip(Z)=yA2wisin()+C.将初始条件I=O时X=x=,E1p(O)=Ep(O)=Im2,代入上式得：yM2=Eip(O)kA2-muAsin(0)+C,C=
10、0,Ep(t)=kx2-muAsn(t)+C=kx2-muAsn(t)+0=kx2-muAsn(t)=kA2cos2t-muAsin(t).(5)222因此势能是时间t的一元函数.E(r)=Ep(r)+Eik(r)=yAx2-wwsin(r)kA2sin2(t)+muAsin(t)+nw2=M2cos2(r)+M2sin2()+1团2=,以2+!机廨=常数(6)22222所以在小车参照系上观察时，弹簧振子体系的机械能仍然守恒，守恒值为乂2+_LZwE22当U=O时两个坐标系重合，守恒值相等，符合玻尔的对应原理.对应原理表明：新理论不是把旧理论根本推翻，而是在旧理论适用的领域中，新理论的结论过渡
11、到旧理论的结论；包含某种特征参量的新理论的数学工具（基本方程及其推论），在特征参量具有适当数值的情况下，自动转变为旧理论的数学工具.从上述推导可以看出两点：当N0,只有s=7i,ZieN时才有：EPa）=EP；当U=O时，二者显然相等，这也符合对应原理.在分析这个问题时不能在地面系用外势能机械能守恒定律（把地球质量认为充分大），在小车系用内势能机械能守恒定律（把地球质量视为有限值），考虑地球受到的惯性力，前后不自洽.因为力具有伽利略变换的不变性，在两个不同的惯性系中质点受到的合力是不变的，所以如果在一个惯性系中机械能守恒，在另一个惯性系中机械能也一定守恒.因为只有非保守力做功，才使机械能发生变
12、化经典弹性势能公式的局限性分析Ep（f）=gM2cos2t-muAsn（t）=；kxl-muAsn（t）=；m2x2-muAsin（），这样可以发现势能与质量成正比，符合质能方程的要求.参考系相对于地面变速运动也可以得出一个势能公式，此时需要计算惯性力的功，没有否定经典的弹性势能公式，原来的公式只是一个特例观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为0（相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上匀速运动），不能认为弹性势能对于所有的观察者都相同，需要根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”重新计算（重力势能和万有引力引力势能也存在类似问题，不必记忆公式），当观察者在力的方向上分速度不相等时，
13、计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性，这是经典力学在公理化的过程中向前迈进的一小步.文献14错误地认为经典的弹性势能公式适用于所有的情况，忘记了它是根据势能定理得出一一舍弃了本源，设计了所谓的多种证法.周衍柏理论力学教程（1979年第一版，人民教育出版社）第47页“由于物体间相对位置发生变化所具有的能量，通常叫做势能.”这里势能应该是指内势能，具有伽利略变换的不变性，在外势能中如果二者质量差别极大，例如本题中的地球和弹簧振子，此时可以把质量较大的物体的质量视为充分大，可以认为是质量较小物体的外势能（此时的系统误差远远小于由于地球质量测量误差造成
14、的误差小得多，由于证明比较简单，本文从略），外势能不具有伽利略变换的不变性，但是机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性.对于势能属于系统应该全面理解，特殊情况下认为外势能存在（这是一种数学处理方法），量变引起了质变.EP=LAX2=IzW/2。是根据，势能定理一物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”推导出22来的，如果后者错误，前者显然错误，当二者发生矛盾的，只能考虑前者有错误（在数学中当“定理”与公理矛盾时我们只能放弃“定理”）.经典的弹簧弹性势能公式EP=LAX2=_1机幻212不是定义式，也是在22特定条件下推导出来（观察者在弹力方向上的分速度为0）,并非对于所有的观察者都成立，长期以
15、来人们一直把二者当成充要条件，也就是说关于弹性势能的外势能差不具有伽利略变换的不变性，人们由于没有认识到这一点才提出了各种各样的解释，这是机械能守恒定律与力学相对性原理关系争论的根源所在,不完全归纳法得出的结论不一定是普遍的真理.如果我们这样认识经典力学，去除了一些错误的认识，经典力学便显得更加和谐.如果考虑到这一点,原来各家杂志上对于这个问题的争议便全部迎刃而解，请读者自行分析，本文从略.如果坚持稣=gh2适用于所有情况，由于弹簧的形变是伽利略变换不变量，因此参考文献中的部分文章坚持认为弹性势能差对于不同的观察者不变，才出现了机械能不守恒的错误结论，为了解释这个问题人们提出了机械能守恒定律可以不满足力学相对性原理或者满足力学相对性原理，但不具有单独协变性的错误的理论.也有人在功能原理中直接去掉外势能的概念，认为引入外势能们没有必要.胡克定律F=kx,在这里是实数与矢量（向量）的积，X是弹簧的形变，是一维矢量，弹性势能应该是“稣=心?必/在这里是数量积（标量积），当观察者在弹力方向上的分速度为O时，X=Xh便得出了
