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1、:导数的运算【考点梳理】考点一：基本初等函数的导数公式原函数导函数x)=c(c为常数)f=Qr)=U(Q,且0)f(X)=a。J(x)=sinxf(X)=COSXJ(X)=COSXf(X)=sinXJy(X)=(a0,且a1)f(x)=inav)=e/(4)=至J(x)=IOgHa0,且41)txna段)=InX/(%)=5考点二：导数的运算法则已知风),g(%)为可导函数，且g(%)0.(D()g)=f(x)婷a).(2)x)g(x)=f()g+(.r),g,(X),特别地，或X)=cf(X).考点三：复合函数的导数1 .复合函数的概念一般地，对于两个函数y=y)和=g(x),如果通过中间变
2、量，y可以表示成X的函数，那么称这个函数为函数和=g(x)的复合函数，记作y=AaCr).2 .复合函数的求导法则一般地，对于由函数和=g(x)复合而成的函数y=(g(x),它的导数与函数)，=0,a)B.(4)=-C.(cosAy=-sinxD.(InX+3)=1+3【答案】C【分析】根据导数的运算法则一一判定即可.【详解】S-lj=Ino,故A错误；故B错误;(cosx)=-sinx故C正确；(InH3)=J故D错误.故选：C.5. (2022上陕西延安高二校考期末)求下列函数的导数.f(x)=-23+4x2/(幻=XeX(3)/(x)=xsinX+cosxr+1/(刈=1X-I【答案】(
3、l)r(x)=-6x2+8xr(H=+)e(3),(x)=XCosx7“吁百【分析】(1)(2)(3)(4)根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.【详解】(1)由/(x)=-2x3+4x2可得r(x)=-6x2+8x(2)由f(x)=xe可得fx)=ex+xex=(x+1)a(3) 由f(x)=XSinX+COsx得/(X)=sinx+x8sx-SinX=XCOSX(4)由 /(x)=W得小)=q x-1(X-I) (Al):6. (2023下高二课时练习)求下列函数的导函数.(1)(x) = -2+4x2(2) f(x) = -x3-X2 +ax+(3) /(x) = x+c
4、os x,x (0,1)(4) /(x) = -X2 +3x-nx(5) y = sin %(6) y =X-I【答案】(Dr(x) = -6x2+8x(2) f,x) = xz -2x+a(3) ,(x) = -sinx+l(4) ,(x) = -2x-3 V = Cosx,2一许【分析】根据函数的求导公式和四则运算即可求解.【详解】(1) /(x) = -24,所以r(x) = -6x2+8x.(2) f(x) = x3-X2 +ax+ ,所以/(x) = x2-2x+.(3) /(x) = x+cosx,x(0,l),所以r(x) = - SinX+1, XW(0,1).(4) /(x)
5、 = -X2 +3x-nx,所以 r(x) = -2x-! + 3.(5) y = sinx,所以y = cosx.(6)=，所以y=X-I(x + l)(D-(X+ 1)(DU-I)22U-D2题型三：复合函数与导数的运算法则的综合应用7.(2023全国高二随堂练习)写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数:(l)y=(x+l),;Q)y=e3;(3)y=sin(-2x+5);(4) j=ln(3x-l);(5)y=2T三T;(6)y=tan(-x+l).【答案】(l)=x+l,乂=IO(X+I)(2)w=3x+l,X=3ev+,(3)m=-2x+5,y,x=-2c
6、os(-2x+5)3(4)w=3x-l,y；=-3x-l2_2=2x7,y-(2x-lpJ_1(6)u=-X+1,yX-7JTv7COS(-X+1)【分析】利用复合函数求导法则，若y=(o(),令Iy=/(),=0(力，则乂=()=求解.【详解】(1)令=x+l,因为立=乂”，所以=(/。)(X+1)=109=10(%+1)9(2)令=3x+l,因为W=乂”，=(euy(3x+iy=3ett=3e3x+,.(3)w=-2x+5,因为义=乂；，=(sinw)(-2x+5)=-2cosw=-2cos(-2x+5).(4)令=3x-l,因为乂=)74,y,x = (Inw)/(3x-l)* =33x
7、-l(5)令=2x-l,因为义=乂0,(IA,2-2_2W=标(2XT)=-w3=(2x-l)3.(6)令=-x+,因为W=EU,1cos2(-x+1),8.(2023全国高二随堂练习)求下列函数的导数:(l)y=e-+2(2x+l)9. （2023下高二课时练习）求下列函数的导数:;(2) y=s(3x-1)-ln(-2x-1)；(3) y=sin2x+cos2x； = sin3x-j;y=cos2x(2-/+2cos(cosx=2cos2x-2sinXCoSx=2cos2x-sin2x.(2x-l)X-J21(-x+1)2-I(6)y=COS2x；(7)/(X)=Sin(8)y=x-sin
8、2xcos2x；(9)y=巾+1)【答案】(1)6(3x-2) = 18xT2(2)3x+2(3)2e-(4)72=(5)3cosf 3x- l(6)-sin2x(7)2.rcos 2x-sin22x-(2+l)ln(2x+l)(8)l-2cos4x(9)./【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案【详解】（1）y=2（3x-2）（3x-2/=6（3x-2）=18x-12;1(6)/=2cosx(cosx)=-2cosxsinx=-sin2x;(sin2x)x-(x)sin2x_2xcos2x-sin2x.5-2，Xx(8)因为y=x-sin2xcos2x,所以y=xsin4x,所以因=1c
9、os4x4=l-2cos4x；,ln(2x+l)Tln(2x+l)x-ln(2x+l)y-=_Tn(2x+1)_(2%+l)_2x-(2x+l)ln(2x+l).X2X2(2x+1)x2题型四：与切线有关的综合问题(切点、某点)10 .(2022上陕西安康高二校联考期末)己知函数/(幻=Vcosx,求/U)(3)曲线y=f().处的切线方程【答案】(Iu)=Zxcosx-JsinX(2)-423(3)y=-+-【分析】(I)由导数的运算法则求解即可；(2)利用导函数计算即可；(3)由导数的几何意义得出切线方程.【详解】(1)f,(x)=(x2)cosX+X2(cosx)r=2xcosx-x2sinx（3）当Xq时，危）=0,则切点为PK,j所以切线方程是-0=即尸一11 .（2023下河南驻马店高二统考期中）已知函数/（x）=x+求曲线y=f（x）与直线2x+y-l=0垂直的切线方程；（2）若过点A（0,-3）的直线/与曲线y=力相切，求直线/的斜率.【答案】（1）8169-3=0-3或5【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程：（2）根据切线的斜率与直线/的方程列方程组求解即可.【详解】（1）因为
