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1、6.3.1二项式定理教材分析本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第六章计数原理，本节课主本节课主要学习二项式定理二项式定理的形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层XXXX初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题,例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。本课数学内容的本质：多项式乘法的深化与再认识。教学目标与裱心素养课程目标学科素养A.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；B.会应用
2、二项式定理求解二项展开式；C通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊等数学思想的应用能力.1 .数学抽象：二项式定理2 .逻辑推理：运用组合推导二项式定理3 .数学运算：运用二项式定理解决问题4 .数学建模：在具体情境中运用二项式定理重点难点重点：应用二项式定理求解二项展开式难点：利用计数原理分析二项式的展开式课前发誉多媒体敢学过程教学过程教学设计意图核心素养目标问题探究上一节学习了排列数公式和组合数公式,本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。问题1；我们知道=a2+2ab+b
3、2,学生带着问题去观察展开式，引发思考(1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？(2)根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？(3)进一步地，你能写出的展开式吗？我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，积极参与互动，说出自己见解。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。可以看到，是2个相乘，只要XX个中选一项(选或)，再从另一个中选一项(选或)，就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理,在合并同类项之前，的展开式共有二项,而且每一项都是(=0,1,2)的形式.我们来分析一下形如的同类项的个数.当二0时，=,这是由2个中都不选得到的，因此，出现的次数相当于从
4、2个中取。个(即都取)的组合数，即只有1个；当二1时，=,这是由1个中选，另一个选得到的，由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即只有2个；当二2时，=,这是由2个中选得到的，因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个；XXX问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？XX这个过程让学生亲1 .二项式定理(a+b)n=(nN*).这个公式所表示的规律叫做二项式定理.展开式：等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，展开式中一共有项.二项式系数：各项的系数(k0.l.2,，n)叫做二项式系数.Can+Can-Ib+Can-2b
5、2+Can-kbk+Cbn+l；C2 .二项展开式的通项公式(a+b)n展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法原理与组合数的简洁美”，这也是一个内化的过程，巩固已有思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心k+1；Can-kbk二项式定理形式上的特点素养。(1)二项展开式有+l项,而不是n项.(2)二项式系数都是(k=0,12,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即+=2n.(4)在排列方式上,按照字母a的降鬲排列,从第一项起,次数由n次逐项减少
6、1次直到0次,同时字母b按升器排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.1.判断(正确的打7,错误的打“x”)(l)(a+b)n展开式中共有n项.()(2)在公式中，交换a,b的顺序对各项没有影响.()Can-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.()(4)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.()解析(1)因为(a+b)n展开式中共有n+1项.(2)因为二项式的第k+1项Can-kbk和(b+a)的展开式的第k+1项Cbrl-kak是不同的，其中的a,b是不能随便交换的.(3)因为Can-kbk是(a+b)n展开式中的第k+1项.(4)因为(a-b)n与(a+b)n的二项式展
7、开式的二项式系数都是C.答案(1)(2)(3)(4)二、典例解析例1.求的展开式.解：根据二项式定理+l.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的塞指数规律是:各项的次数和等于n.(2)字母a按降塞排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升鬲排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点向二项展开式的形式靠拢.跟踪训练1(1)求34的展开式；(2)ft1)5+5(-l)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(-1).解：(1)方法一34=(3)4+(3)3(3)22+33+4=81x2+108+
8、54+.XXX34=(81x4+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54+.(2)t=(x-l)5+(x-l)4+(x-l)3+(x-l)+(x-l)0-l=(x-l)+l5-l=x5-l.例2.(1)求的展开式的第4项的系数；(2)求的展开式中的系数.解：的展开式的第4项是因此,展开式第4项的系数是280.(2)的展开式的通项是通过典例解析，让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。根据题意，得，因此，二项式系数与项的系数的求解策略(1)二项式系数都是组合数(k(U,2,n),它与二项展
9、开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数这两个概念.第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(l+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是二35,而第4项的系数是23=280.跟踪训练2.(1)求二项式26的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求x-9的展开式中x3的系数.解:(1)由已知得二项展开式的通项为Tk+l=(2)6-k-k=26-k(-l)k1T6=-12.第6项的二项式系数为二6,第6项的系数为(1)52=12.设展开式中的第kl项为含x3的项厕Tkl=x9-k-k=(-
10、l)kx9-2k,令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3淇系数为(-l)3=-84三、达标检测1 .(a+b)2n的展开式的项数是()A.2B.2n+lC.2n-lD.2(n+l)解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2nl项,故展开式的项数为2n+l.答案:B2 .(2ab)5的展开式的第3项是()A.23B.23a3b2C.23D.23a2b3解析:T2+l=(2a)3b2=23a3b2.答案:B3 .二项式的展开式中有理项共有项.解析:根据二项式定理的通项Tkl=.当取有理项时,为整数，此时k=0,246.故共有4项.答案：44 .如果()n的展开式中,含2的项为第三项,则
11、自然数n=解析:Tk+l=)n-k()k=,由题意知当k=2时尸2,解得=8.答案:85 .已知m1nN*1f(x)=(l+x)m+(lx)n的展开式中X的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中7的系数.解:由题设知m+n=19,Xm,nN*lm18.2的系数为(m2-m)+(n2-n)=m2-19m+17L当m=9或10时/2的系数的最小值为81.此时x7的系数为二156.6.已知在的展开式中,第6项为常数项.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学XX、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.分析:先利
12、用二项展开式的通项,求出当X的次数为O时n的值,再求解第问、第问.解Q)由通项知,展开式中第k+1项为Tk+l=()n-k()-k.第6项为常数项,k=5,且-52=0,.n=10.(2)由知Tk+1=.令=2,则k=2.x2的系数为45二.(3)当Tk+1项为有理项时,为整数QWkWlo,且kN.令二Z厕k=5-z,z为偶数从而求得当z=2,0,-2时,相应地k=2,5,8符合条件.有理项为T3=x2=x2,T6=-lT9=x-2=x-2.四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。板书设计二项式定理二项展开式的通项公式二项式系数与项的系数教学反思这一节课面对的是高二年级的学生,这学段的学生已经初步具备了多项式运算、计数原理、组合等相关知识储备，能够在教师的引导下理解并掌握本节课的内容，但在动手操作和合作学习等方面，有待进一步加强。本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标，这样，课上的探究过程就不会卡顿了。更多资源请加微Abcyzxt联系扫一扫上面的二维码图案,加我为朋期待更多同行交流
