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1、7.3.1.2：三角函数的周期性和图象与性质【考点梳理】考点一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的筒图(1)在正弦函数尸Sin心问0,2的图象中，五个关键点是：(0,0),(”)，(,0),管一1),(2,0).在余弦函数y=cosx,x0,2c的图象中，五个关键点是：(0,1),&0),(,1),砥，0),(2,1).考点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数y=sinxy=CosXy=tanx图象yF1y_7T1-JUW定义域RR-.r+j值域-1,1-1,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2E，2+2-.2k(左冬E+?递减区间2Aty.2%+竽2A,2A对称
2、中心(k,0)(k+,0)作)对称轴方程X=E+5x=k【题型归纳】题型一、正余弦三角函数的图像问题1. (2023高一)设。为常数，且满足Q=SiiU+1,且工4-,的X的值只有一个，则实数的值为().A. 0B. 1C. 2D. 0或 2【答案】D【分析】利用五点作图法作出y=siar+l,工武-兀可的函数图象，依题意与y=s欣+1在兀可上只有1个交点，结合图象即可求出参数的值.【详解】解：因为y=sinx+l,列表：X022-y12101描点、连线，函数图象如下图所示:因为=siu+l,且xw-兀,0的X的值只有一个，所以y=与y=sinx+l在t,兀上只有1个交点，结合图象可知=O或。
3、=2.故选：D2. （2023上安徽合肥高一校联考期末）函数/）=SinX,g（x）=cosx的图象在区间-2编兀的交点个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】作出正、余弦函数图象，利用图象直接判断两者交点个数.【详解】分别作出/（x）=SinX,g（x）=cos元在区间-2兀,兀上的图象，如图所示，由图象可知：/（x）=Sin*g（x）=cos元的图象在区间卜2,的交点个数为3.故选：A.3. （2022高一课时练习）在（0,2万）内，使SinXcoSM的X的取值范围是（）C.D.【分析】在同一坐标系作函数V=SinX以及y=8S的图像即可求解. 37,T故选：D.行上存在最题型
4、二、正弦余弦和正切的定义域值域和最值问题4. （2023下内蒙古呼和浩特高一呼和浩特市土默特中学校考期中）若函数/（x）=2sin5在区间小值-2,则非零实数0的取值范围是（）B.6,+)C. (-,-2|，+8D.-00,-y O 6,+00)【答案】C【分析】根据非零实数。的正负进行分类讨论，列出不等式求解即可.【详解】若或0,则一加sa因为函数/(x)=2SinS在区间上存在最小值-2,所以一-f,得到口;若60,则一3COXCD,45因为函数/(x)=2SinS在区间-K上存在最小值-2,所以23二，6y-2.42所以非零实数。的取值范围是(-,-2|,心).故选：C5. (2023下
5、北京怀柔高一北京市怀柔区第一中学校考期中)已知函数f(x)=cos(兀-力+1,则()A.”可是偶函数，最大值为1B.”可是偶函数，最大值为2C./(x)是奇函数，最大值为1D.”是奇函数，最大值为2【答案】B【分析】利用诱导公式将函数化简，再结合余弦函数的性质分析即可.【详解】HW=s(-x)+l=-cosx+l,定义域为R,则/(T)=-COS(T)+1=-COSX+l=(x),所以/(x)是偶函数，J-lcosxl,所以一l-cosxl,则0-cosx+l2,所以”x)0,2,即“力的最大值为2.故选：B6. (2023下内蒙古包头高一统考期末)函数。圄的定义域是()5E,丁5,I122
6、JI12J1 E,r1f,一C.xx。一十,kwZD.I32I3【答案】A【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可得：2x-A(Z),解得X唔+g(丘Z),函数Iy=Ian的定义域为卜XHll+g,%z题型三、正弦三角函数的性质7. (2023全国高一随堂练习)当工-肛句时，函数y=3sinx()A.在区间卜区0上单调递增，在区间0,可上单调递减B.在区间一线上单调递增，在区间,上分别单调递减C.在区间卜小0上单调递减，在区间0,可上单调递增D.在区间-凡一,X上分别单调递增，在区间-g%上单调递减【答案】B【分析】根据函数y=3sinx,xrr,句的
7、单调性依次判断选项即可.【详解】函数y=3sinx,x-肛句，x-,y=3sinx为减函数，xe-y,y=3sinx为增函数,xy,y=3sinx为减函数，故选：B8. (2021上高一课时练习)对于函数/*)=sin2x,下列选项中正确的()A. 73)在与北上是递增的B. /(x)的图象关于原点对称C. /*)的最小正周期为2D. f(x)的最大值为2【答案】B【分析】根据正弦函数的单调性、奇偶性、最值和周期性可得答案.【详解】因为函数y=sinx在g)上是递减的，所以/(X)=SinZr在(：,是递减的，故A错误；易知函数/(x)=sin2x的定义域为R,因为/()=sin2(-)=si
8、n(-2)=-sin2x=-f(x),所以f(x)为奇函数，所以/“)的图象关于原点对称，故B正确;/(x)=sin2x的最小正周期为号=兀，故C错误;因为函数/(x)=sin2x的定义域为R,所以/&)=Sin2的最大值为1,故D错误.故选：B9. (2023上安徽六安高三六安一中校考阶段练习)己知函数/(x)=sin(3+?)0)在区间0,恰有两条对称轴，则的取值范围()71359)(59(11A.B.C.D.44_44)44_144【答案】B【分析】根据题意得到f8+fE+o,从而得到萼f+v，再解不等式即可.444242【详解】因为0x兀，所以rw+ff+加，444因为函数x)=sin
9、(5+：)0)在区间0,句恰有两条对称轴，所以=+o苧，解得340）的图象关于直线入哈对称，且/=O,则切的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】A【分析】根据函数y=Acos（3r+e）的性质和条件列出关于。的解析式即可.【详解】由题设知直线X=自与点（g,）分别为函数/*）图象的对称轴与对称中心，故得+O=KMKwZ）,詈+夕=&兀+/（&wZ）,于是詈二的一幻乃+（占，&eZ）,即。=4（&-4）+2（4，&eZ）,又网-wZ,且&0,故切的最小值是2；故选：A.题型五、正切三角函数的性质13. （2023下高一单元测试）函数y=ta1113入+聿）的单调区间是（）A.,f,k+一
10、1.33J(ZGZ)B.（左兀一,左冗+）（女Z）C.kk2T-9,T+-9.伏Z)、(kk2Y,丁、d万丁TgZ)【答案】D【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得.【详解】因为=Sn；-3%+看）=Tan（3%-e），令A-g3x-mA+g,kZ,解得g-g力g+勺,keZ,2623939所以函数y=ta11（-3x+.的单调递减区间为停-会铮与卜wZ）.故选：D.14. （2022上.江苏泰州高一靖江高级中学校考阶段练习）关于函数/（力=卜则的性质，下列叙述不正确的是（）A.”力是偶函数B. 力的图象关于直线X=AM&wZ）对称C. f（x）的最小正周期是D. 力在（咤+引
11、化GZ）内单调递增【答案】C【分析】作出/(=卜刎的图象，结合正切函数的性质对选项逐一判断,【详解】作出“力=MM的图象如图所示,对于A,对于B,/(-x)=Itan(-x)=|tanXI=f(x),故/(可是偶函数，故A正确,结合正切函数的性质知力的图象关于直线X=&4(&wZ)对称，故B正确,对于C,的最小正周期是江，故C错误对于D,%r,MJ(丘Z)内单调递增，故D正确,故选：C15. (2023下.湖北荆州高一校联考期中)己知函数f(x) = lan(3x+)网;J的图象关于点(一,0)对称，则A. -2-3B. -2 + 6C. 2-3D. 2 + 3【答案】C【分析】根据函数的对称中心，结合。的范围，可得出。=-?，/(x) 6tan0x_2j.代入X =专，根据两角差的正12切公式，即可得出答案.【详解】因为/(x) = tan(3x + )同的图象关于点5,0卜)称,所以3xk I _ +
