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1、苏州新希望教化特性化教案十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2 .十字相乘法的依据和详细内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用（ax+6）（cx+H竖式乘法法则.它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式V+p+q,假如能把常数项。分解成两个因数46的积，并且a+b为一次项系数那么它就可以运用公式X2+（a-b）x+ab=（x+a）（x+b）分解因式.这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的X可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中肯定值较大
2、的因数的符号与一次项系数的符号相同.（2）对于二次项系数不是1的二次三项式0+Zzr+c（a,b,。都是整数且a0）来说，假如存在四个整数a”外，。，C2，使qy=，c1c2=c,S,alc2+a2cl=b9那么OX2+bx+C+（。1。2+%6）%+。1。2=（4%+。1）（。2%+。2）它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的状况困难，因此，一般要借助“画十字交叉线”的方法来确定.学习时要留意符号的规律.为了削减尝试次数，使符号问题简洁化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的
3、符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积肯定值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式，还要留意避开以下两种错误出现：一是没有仔细地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如：5x2+6xy-8y2=(x+25x-4)3 .因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最终考虑分组分解法.对于一个还能接着分解的多项式因式仍旧用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下：”首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方
4、法反复试，结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：(1)X2-2x-15;(2)X2-5xy+6y2.点悟：(1)常数项一15可分为3(-5),且3+(5)=-2恰为一次项系数;(2)将y看作常数，转化为关于X的二次三项式，常数项6/可分为(一2y)(一3y),而(-2。+(30=(5力恰为一次项系数.解：(1)x2-2x-15=(x+3)(x-5)；(2)X2-5y+6y2=(x-2y)(x-3y).例2把下列各式分解因式：(1)2x-5x3；(2)3x2+8x3.点悟：我们要把多项式/分解成形如(町+6)(斛+c2)的形式，这里ala2=a，clc2=C而alc2+a2c
5、i=b.解：(1)2x2-5x-3=(2x+1)(x-3);(2)3x2+8x-3=(3x-1Kx+3点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点,要适当增加练习，积累阅历，才能提高速度和精确性.例3把下列各式分解因式：(1) %4-IOx2+9；(2) 7(x+y)3-5(x+y)2-2(x+y);(3) (a2+8a)2+22(a2+8a)+20.点悟：(1)把一看作一整体，从而转化为关于/的二次三项式；(2)提取公因式(x+y)后，原式可转化为关于(x+y)的二次三项式；(3)以(/+8.)
6、为整体，转化为关于面+8)的二次三项式.解：(1)X4-IOx2+9=(x2-l)(x2-9)=(x+l)(x1)(x+3)(x3).(2) 7(x+y)3-5(x+y)2-2(x+y)=(X+y)7(x+y)2-5(X+y)-2=(x+力(x+y)17(x+y)+2=(x+y)(x+y1)(7x+7y+2).(3) (a2+8)2+22(/+8。)+120=(a2+8+12)(a2+8+10)=(+2)(+6)(+8+10)点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们与时、精确地发觉多项式中原委把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺当地进行分解.同时要留意已分解的两个因式是否能接着分解，如
7、能分解，要分解到不能再分解为止.例4分解因式：*2+2x-3)(f+2x-24)+90.点悟：把/+2X看作一个变量，利用换元法解之.解：设/+2=y,则原式=(y3)(y24)+90=-27y+162=(y-18)(y-9)=(x2+2-18)(x2+2x-9).点拨：本题中将Y+2JV视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果.此外，/-27y+162=(y-18)(y-9)一步，我们用了“十字相乘法”进行分解.例5分解因式6/+5/-38/+5%+6.点悟：可考虑换元法与变形降次来解之.解：原式=短6(八)+5(冗+3-38X、,1,1=X26(x+一)2+5(x+-
8、)-50,XXx+-=yf则X原式E6丁+5),一50)=(2y-5)(3y+10)22=x2(2+5)(3x+-10)XX=(2x2-5x+2)(3/+Io+3)=(x-2)(2x-l)(x+3)(3x+1).点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法奇妙，令人眼花瞭乱.但是，品尝之余应想到对换元后得出的结论肯定要“还原”，这是一个重要环节.例6分解因式r2-2xy+V-5x+5y-6.点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(xy)的二次三项式.方法2：把字母y看作是常数，转化为关于X的二次三项式.解法LX2-2xy+y2一5x+5y-6=(x2
9、-2y+y2)+(-5x+5y)-6=(x-y)2-5(x-y)-6=(x-+l)(x-y-6).解法2:X2-2xy+y2-5x+5y-6=X2-(2y+5)x+y2+5y-6=X2-(2y+5)x+(y+6)(y-1)=x-(y+6)x-(y-)(%y6)x-y+1).例7分解因式：Ca(Ca)-bcb-c)-abaZ?).点悟：先将前面的两个括号绽开，再将绽开的部分重新分组.解：caca)+bc(bc)+ab(a-H)=c2-a2c-b2c-bc2+ab(a-b)=c2(a-b)-c(a2-b2)+ab(a-b)=c2(a-b)-c(a+b)(a-b)+ab(a-b)=(b)c2-cc+
10、b)+ab(a)(ca)(C-6)点拨：因式分解，有时须要把多项式去括号、绽开、整理、重新分组，有时仅须要把某几项绽开再分组.此题绽开四项后，依据字母。的次数分组，出现了含d一方的因式，从而能提公因式.随后又出现了关于。的二次三项式能再次分解.例8已知f+6f+i2有一个因式是j+r+4,求Z值和这个多项式的其他因式.点悟：因为/+6/+%+12是四次多项式，有一个因式是V+a+4,依据多项式的乘法原则可知道另一个因式是/+公+3(反。是待定常数)，故有X4+6x2+X+12=(x2+4)(x2+Zjx+3).依据此恒等关系式，可求出a,8的值.解：设另一个多项式为炉+瓜+3,则X4+6x2+
11、x+12=(x2+ax+4)(x2+Z?x+3)=x4+(+b)xi+(3+4+ab)x2+(3+48)x+12,/x4+6x2+x12+(z+Wx3+(3+4+ab)x2+(3a+4b)x+12是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等.即有+=0,3+4=6,3a+4=1.由、解得，a=1,8=1,代入，等式成立./.a=-,另一个因式为V+3点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学学问的学习中也常常运用.希望读者不行轻视.【易错例题分析】例9分解因式：5fl2+23y-10/.错解：.-10=5(-2),5=1X5,55+
12、l(-2)=23,/.原式=(5a+5y)(-2c?Z?+5y).警示：错在没有驾驭十字相乘法的含义和步骤.正解：,.5=1X5,-10=5(-2),5X5+1X(2)=23.：原式=(a8+5。(5ab-2y).【同步练习】一、选择题1 .假如J一p+g=(+)(+8),那么夕等于()A.abB.a+bC.abD.(a+6)2.假如d+(+b)x+5Z?=x?%一30,则人为()A.5B,-6C,-5D.63.多项式V一3x+4可分解为(x5)(x力)，则a,b的值分别为()A. 10和一2B.一10和2C.10和2D.-10和一24 .不能用十字相乘法分解的是()A,xX2B.3x-1Ox
13、3xC,4x2+X+2D.5x2-6xy-Sy25 .分解结果等于(x+y4)(2x+2y5)的多项式是()A.2(x+y)2-13(x+j)20B. (2x+2y)2-13(x+y)+20C. 2(x+y)2+13(x+y)+20D. 2(x+y)2-9(x+y)+206 .将下述多项式分解后，有相同因式xl的多项式有()d-7x+6;3冗2+2冗-1；X?+5x-6；4x2-5x-9;15/-23x+8;x4+Ilx2-1242个83个U4个5个二、填空题7 .x2+3x-10=8 .nr-5m-6=r-a)(6).a,力=9 .2x2-5x-3=(x-3)()10 .x2+-2j2=-y
14、)().11 .2+-6F+()=(+)2,m12 .当A=时，多项式3+7j有一个因式为().13 .若Xy=6,y=-,则代数式3y-22y2+肛3的值为36三、解答题14 .把下列各式分解因式：(1)X4-Ix1+6；(2)%4-5x2-36；(3) 4-65x2+16;(4)tz6-73-8Z?6；(5) 64-53-42;(6)46-314h2+9a2b4.15 .把下列各式分解因式：(1) (x2-3)2-4x2；(2)x2(x-2)2-9;(3) (3x2+2+1)2-(2x2+3x+3)2；(4) (x2+x)2-17(x2+x)+60;(5)(x?+2x)7(x+2x)8；(6) (2。+加2-14(2。+6)+48.16 .把下列各式分解因式：(1) (a-b)x2-2ax+a+b；(2) x?一(p2+q2)+pq(p+q)(p-q);(3) x2-2xy-3y2+2x+10y-8；(4) 4x2-4xy-3y2-4x+10y-3；(5) (x2+3x+2x2+7x+12)-120；(6) (x2+xy+y2)(x2+xy+2y2)-12y4.17 .已知2d一7/-19x+60
