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1、专题4.1对数运算【考点1：对数的概念判断与求值】1【考点2：指数式与对数式的互化】3【考点3：对数的运算性质】5【考点4：换底公式及其应用】10【考点1：对数的概念判断与求值】【知识点：对数的概念】如果=Me0,且。Wl),那么数X叫做以为底N的对数，记作x=k)g0,且l),那么数X叫做以。为底N的对数，记作=,其中叫做对数的,N叫做.(2)对数的基本性质当Q0,且Q1时,ax=N.负数和。没有对数.特殊值：1的对数是,KPlogaI=(Q0,且Q1)；底数的对数是1,即Iogaa=1(a0,且a1).(3)常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以为底的对数叫做常用对数自然对数以无理数e=
2、2.71828为底的对数称为自然对数【答案】logaV底数真数X=logaVOO10IgIn【解析】略2. (2021江苏省江阴市第一中学高一期中)使式子kg(3)(3-%)有意义的的取值范围是()112A.%3B.%3C.-%0【详解】由题意得：3%-1工1,解得：不0故选：D3. (2022江苏省南通中学高一阶段练习)已知对数式logg+)E有意义，则。的取值范围为()A.(-1,4)B.(-1,0)U(0,4)C.(-4,0)U(0,1)D.(-4,1)【答案】B【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.r+10【详解】由k)g(+)f有意义可知IatI1,解得一1。o4所以a的取值范围
3、为(一1,0)U(0,4).故选：B4. (2023全国高三专题练习)已知函数0)=f岁则川G)的值为()ATTc3D.遮【答案】C【分析】根据题中函数表达式代入求解即可.【详解】因为fG)=k)g2：=_l,所以fG)=一D=3TT)=3.故选：C5.(2022天津市红桥区教师发展中心高一期末)有以下四个结论：(T)Ig(IglO)=0：(2)ln(lge)=0；(3)若10=lgx,WJx=10；若e=lnx,则x=e2,其中正确的是()A.B.C.D.【答案】A【分析】根据对数的定义即可求得答案.【详解】由对数定义可知，IgQglO)=Igl=O,正确；In(Ine)=Inl=0,正确;
4、Inx X = ee,错误.对，10=Igx=x=IO10,错误；对,故选：A.6. (2022重庆巫山县官渡中学高二阶段练习)(多选)下列说法正确的有()A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可以化成对数式C.以10为底的对数叫做常用对数D.以e为底的对数叫做自然对数【答案】ACD【分析】根据对数的定义即可判断答案.【详解】由对数的定义可知ACD正确；对B,当0且l时，=N才能化为对数式.故选：ACD.7. (2021全国高一课时练习)若log(+k)(l-k)有意义，则实数攵的取值范围是【答案】(TQ)U(OJ)【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.(1+k0【详解】若Iog(I+
5、幻(1一口有意义，则渤足l+kl,解得k(一1,0)U(0,1).(l-c0故答案为：(-l,0)u(0,l)8. (2021全国高一课前预习)求下列各式的值：(l)Iog525;(2)】喻强【答案】(1)2；(2)4.【分析】根据对数的定义及指对数式的互化即可求得答案.(I)Sx=logs25,则5*=25=5x=52=X=2,即logs25=2.(2)设X=Iog2,贝J2=2x=24=X=-4,Bplog2=4.【考点2：指数式与对数式的互化】【知识点：指数式与对数式的互化】1、=NQx=IogJV;2IogaI=O,IOga4=1,QSgaN=N1. (2022贵州黔西南州金成实验学校
6、高三阶段练习)方程4,2】-3=0的解是.【答案】x=log23【分析】将原方程化为(2,3)(2+1)=0,即可得解.【详解】原方程即为(2X)2-2x2*-3=0,BP(2x-3)(2x+1)=0,.,2x0,所以，2x=3,解得X=IOg23.故答案为：X=Iog23.2. (2022浙江丽水高三竞赛)函数f(%)满足f(2X)=%2-2%+2-i,若f(5)=l,则实数的值为.【答案】log25【分析】结合已知条件求出f(x)的解析式，然后利用f(5)=-l即可求出a.【详解】令t=20,则X=Iog2亡，由f(2%)=-2x+2-i=(%-)2/得，f(t)=(log2t-a)2-l
7、,即f(%)=(log2%-)2-1,x0,从而f(5)=(log25-)2-l=-l=log25,故实数的值为log25.故答案为：log25.3. (2022全国高一课时练习)(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是()A.IO0=1与Igl=0B.log39=2与95=3C.27=j-log27=-D.Iogs5=1与51=5【答案】ACD【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化.【详解】对于选项A,指数式100=1化为对数式为Igl=0,故A正确；对于选项B,指数式雄=3化为对数式为logg3=点故B错误；对于选项C,指数式271=批为对数式为叫271=*故C正确；对于选项D,指
8、数式51=5化为对数式为10855=1，故D正确.故选：ACD.4. (2022浙江高三开学考试)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：=(1-0)e-kt0,其中t为时间(单位：min),为环境温度，%为物体初始温度，。为冷却后温度.假设在室内温度为20。C的情况下,一杯饮料由100C降低到60。C需要20min,则此饮料从60。C降低到40。C需要（）A.IOminB.20minC.40minD.30min【答案】B【分析】根据已知条件，将已知数据代入即可求解=詈，进而将稣=20,1=60,0=40,k=詈代入解析式中即可求解时间.【详解】由题意可得，0=20,1=100,=60,t=2
9、0代入。=（%-0y）e-kt+0,80e-20+20=60,解得e-20k=1,故-2Ok=-ln2解得A=黑故当=20,1=60,=40,k=詈时，将其代入6=Sl-0）e-kt+。得40e，20=40,解得t=20,故选：B5. （2021甘肃高台县第一中学高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上定义为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了lmgmL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过个小时才能驾驶.（结
10、果保留整数，参考数据IogO.70.2*4.51）【答案】5【分析】由题意可得y=100X0.7,指对数互化结合题中题意求解.【详解】设X个小时后IOomI血液中酒精含量为ymg,My=100（l-30%）x,BPy=100X0.7x,当y=1000.7xlog0,70,24.51,所以该驾驶员至少经过5个小时才能驾驶.故答案为：5.【考点3：对数的运算性质】【知识点：对数的运算性质】运算法则IOga(MM=IogaM+IogJV0,且。Wl,M0,NX)M1。&讨=logM-1OgaNlogtlM,=川R)重要推论log,b三=logsbi(2)log-10,推广IogabAQgbcAogc
11、d-logf.1. (2017湖南武冈市教育科学研究所高二学业考试)求值(Ig5)2+lg2lg25+(lg2)2=.【答案】1【分析】利用对数的运算性质求解即可.【详解】原式=(Ig5)2+21g21g5+(Ig2)2=(Ig5+lg2)2=(IglO)2=1.故答案为：12. (2022北京杨镇第一中学高三阶段练习)2,o-()1+lg1+(2-l)ln1=.【答案】今亨44【分析】结合指数幕、对数运算法则化简求值22【详解】原式=2og220,且=l,下列说法不正确的是()A.若M=N,则IOgaM=IOgaNB.若IogaM=logV,则M=NC.若IogQM2=IogaN?,则M=N
12、D.若M=N,则IOgaM?=log。*【答案】ACD【分析】AD可举出反例；C选项可推导出M=N或M=-N；B选项，根据y=IogM单调可得到M=N.【详解】若M=N0,则IogaM,1OgaN无意义，A错误；因为IOgaM=IogaN,且y=IogN为单调函数，所以M=N,B正确；因为IOgaM2=IOgaN2,则m2=N2,所以M=N或M=-N,C错误；若M=N=O,则IOgaM2,1OgaN2无意义,D错误.故选：ACD5. (2021江苏省灌南高级中学高一期中)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y=Ig(10+10,x,yR.对于任意实数,b,c,给出如下结论，正确的是()A.a
13、*b=b*aB.(*c=a*(*c)C.(*b)+c=a*c+b*cD.(*b)+c=(c)*+c)【答案】ABD【分析】首先根据题中所给的条件，利用新定义运算法则，分别求相应的量，逐个验证是否正确，从而选出正确的结果.【详解】根据运算法则，*b=lg(10+10fc),b*=lg(10i,+10)z所以Q*b=b*a,故A正确；Rl(a*)*c=lg(10a+10b+10c),a*(?*c)=lg(10a10fe+10c),所以(a%)*c=a*(b*c),故B正确;(a*b)+c=lg(10a+10d)+cza*c+b*C=Ig(IOa+10”+Ig(Iob+10C)=Ig(IOa+1Ob)(IOb+10。)，所以(a*b)+ca*c+b*c,故C错误；
