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1、专题11函数y=sin(3x+*)的图像与性质考点一函数y=Asin(cx+w)的图象1.函数y=Asin(3x+q)的有关概念y=Asin(x)振幅周期频率相位初相(40,0)AT=生-1/=-=T2xy=4sin(3x+(p)一个周期内的简图用五点法画y=4sin(3x+0一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示:X-2322兀一0x0R2n322y=sin(x)0A0-A0y=sinX的图象变换得到y=4sin(x+)(40,SO)的图象的两种方法考点二函数y=ASin(S+)与函数)，=力CoS(GX+)的性质函数y=4sin()x+8)与函数y=cos(ox+e)可看作是由正弦
2、函数y=sinx,余弦函数y=cosx复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx类似地得到：(1)定义域：R；值域：-4蜀；(3)单调区间：求形如y=Zsin(x+0)与函数y=力COS(S+)(4。0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把0x+0视为一个“整体”，分别与正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx的单调递增(减)区间对应解出X,即为所求的单调递增(减)区间.比如：由TC2k-+92k+-(kZ)解出X的范围所得区间即为增区间，由2k+三x-0)不一定具备奇偶JT性.对于函数歹=4Sin(S+),当9=Ar(Az)时为奇函数，当
3、9=hr5(%z)时为偶函数；对于函数y=4cos(=A7r5(%z)解出，其对称中心的横坐标x+=k(kz),即对称中心为,0(Aez).同理，y=4cos(gx+9)的对称轴由1口JTx+=k(kZ)解出，对称中心的横坐标由x+=k-(kZ)解出.重难点题型突破1“五点法作图”画函数y=4sin(ox+e)的图象例1、(2223全国专题练习)画出函数N=Sinl2-彳在区间0,上的图象.【答案】图象见解析【分析】按照列表、描点、连线的步骤画出函数图象.【详解】列表：r32x43兀42025TX083T5T7Ty=Sinl2x-1至2-I010,22描点，连线，可得图象如下：【变式训练11】
4、、(2223上海淀阶段练习)某同学用“五点法画函数/(X)=力Sin(S+8)+%NO,S在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x+023T2Xm3n5TPJsin(0)个单位，得到y=g()的图象.若y=g()为偶函数，求f的最小值.a1三Tt71113it【答案】(l)m=丘，w=-P=/(x)=5Sinl2x-71+1(3)i(2)根据表格得到JsinO+ =1,.兀，解方程得到Jsm-+: =62【分析】(1)根据表格列方程，解方程得到?，Pxj=5,1,然后结合(1)中结论即可得到/(x)的解析式;=1(3)根据图象的平移变换得到g(x),根据g(x)为偶函数得到g(
5、0)为最值，然后解方程求Z即可.例2(1(2324上河南阶段练习)为了得到函数N=Sin(4x+2)的图象，可以将函数y=sin(4x-6)的图m + * = 0【详解】(1)由题意得-+=-cn + = 53S + =62p + = 2 =6m =i-,. 71312，所以初=五，W = - P = 7w =1213P 12(2)由题意得JsinO+ =I兀 解得Jsm-+ =62所以/(x) = 5Sinl 2x- + 1.(3)由题意得g(x) = 5sin 2x + 2-7 +1,因为g(x)为偶函数,所以g(0) = 5sin2- +1 = 6 或 g(0)= -4 , Bp sin
6、 I 2t-即 2f- = + A,AeZ,解得 f = + g,AwZ,因为fo,所以当A=O时，/最小，最小为;.重难点题型突破2函数y=Asin(3x+g)的图象及变换象()A.向右平移8个单位长度B.向左平移8个单位长度C.向右平移2个单位长度D.向左平移2个单位长度【答案】D【分析】利用三角函数图像左右平移变换关系即可选出正确答案.【详解】设g(x)=sin(4x-6).把函数y=g(x)的图象平移。(向左。为正数，向右。为负数)个单位长度后，得到y=8(+。)=5后(4刀+4。-6)的图象.令/(x)=sin(4x+2),易知/(x)=Sin(4x+2)的周期7=5,为了得到函数y
7、=(x)的图象，只需令4-6=2+打,(%Z),得。=2+竺=2+AeZ,48根据选项可知，a=2,即把函数V=sin(4x-6)的图象向左平移2个单位长度即可得到y=sin(4x+2)的图象.故选：D.(2)、(2022江西赣州市赣县第三中学高二阶段练习)为了得到函数y=2cos0x-与)的图象，只需将函数y=2sinx的图象()A.向左平移5个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的工，纵坐标不变B.向右平移W个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移方个单位长度D.所有点的横坐标缩短:，纵坐标不变，
8、再向右平移三个单位长度212【答案】D【分析】由诱导公式与三角函数的图象变换判断，【详解】y=2cos(2x-4=2sin(2x-当令=2sin(2x-今，V5)326故只需将函数V=2sinx的图象所有点的横坐标缩短纵坐标不变，再向右平移展个单位长度，或先向公平移J个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的!，纵坐标不变，只仃D满足题62.,故选：D【变式训练21】、(2L22乌鲁木齐二模)已知函数/6)=2sin(x+J将函数V=(x)的图象向左平移?个单位，得到函数y=g()的图象，则g(x)在0,2句上的单调递减区间为；【答案】66【分析】通过平移变换得y=g(),然后利用正弦
9、函数的单调性解不等式可得.【详解】将函数尸/(x)的图象向左平移誉个单位，得/(x+,=2Sin(X即8(幻=2而1+升由x+-得一x.23266故答案为：,?66【变式训练22】、(2022福建省厦门第六中学高三阶段练习)若函数巾呜)的图像向左平移8(。0)个单位长度后所得函数图像关于X=E对称，则9的最小值为.【答案噎【分析】先求出平移后的解析式，得到对称轴方程，把x=g代入即可求解.6【详解】将函数y=sin(2x+j的图像向左平移8个单位长度后，得到函数y = sn + 3= sin2x + 2 + y其对称轴：2.r+2H=-kjkZ),代入X=,得I-1=卜kr,解得：=(Z).3
10、26332122因为。0,所以当k=I时，n=-.故答案为：-jy.重难点题型突破3由图象求函数y=4sin(g+的解析式例3.(1)、(22-23下宜春期中)函数/(x)=Asin(x+)(A0,口0,0。2)一个周期的图象如图所示,则函数/()的解析式为.【答案】(x)=4sinx+【分析】根据图像，由最值求得A,根据周期求最后找点代入求*,从而得解.【详解】由图象可知/=4,7=4兀，又00,则=M=L，所以/(x)=4Sin倍x+e,T422)又作,0)在该曲线上，所以4sin仔+夕卜0,则把+9=2E,左wZ,gJ=-+2ZrZ,44又080忖求。；代入验证并结合正弦函数的单调性判断
11、在Tle上单调性；由/代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断/(为)=/()是否成立【详解】由图知：4=卷-(-白)=3,而T=女，可得0=2,A正确；212122co：,/(x)=2sin(2x+),又/(一3)=2疝(一?+夕)=0且f(O)=2sin0O,=kr+-tksZ,又|同0,-兀兀)的部分图像如图所示，则3,9的值分别是()5A-2,KB.2,-C.2,-D.4,【答案】C【分析】先由图象确定周期，求解。，再代入最值点，求解.【详解】设函数/(X)的周期为T,则由图象知，r=-f-三,412V3J4Zf=ITWl2JT2TTC解得T=,-=2；T由图象点(Q，2)在函数/(x)的图象上，则兀)=2sin-=2,则sin(-e=,则2-O=2E+Z,%cZ,解得e=一2反+色MeZ,
