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1、专题15集合专题（新定义）一、单选题1. （2023全国模拟预测）已知集合A,8满足A-8=123,若AwB,且A&8,伊&川表示两个不同的“48互衬对”，则满足题意的“A8互衬对“个数为（）A.9B.4C.27D.8【答案】C【分析】直接列举可得.【详解】当A=0时，集合B可以为1,2,3；当A=l时,集合=可以为2,3,L23;当A=2时，集合B可以为1,3,1,2,3）；当A=3时，集合8可以为1,2,1,2,3：当A=l,2时，集合8可以为3,1,3,2,3,123:当A=l,3时，集合B可以为2,1,2,2,3,1,2,3:当A=2,3时，集合6可以为1,1,2,1,3,1,2,3;
2、当A=l,2,3时，集合B可以为0,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.故满足题意的“AB互衬对个数为27.故选：C2.（2023全国高三专题练习）定义集合488二以%4且43,已知集合4=-3-2,2,3,3=-3,-1,1,2,则A8）B=（）A.T2B.-l,l）C.-2,3）D.（0）【答案】C【分析】根据集合新定义即可求解.【详解】因为集合A6=-2,3故选：C3. （2023全国高三专题练习）定义集合A*B=zz=D,xAy3,设集合A=T,O,1,B=-1,1,3,A.4B.5C.6D.7【答案】B【分析】根据集合的新定义求得A*8,从而确定正确答案.【详解】因为A=
3、-1,O,1,B=-1,L3,所以A*B=-3,-l,0J3,故A*8中元素的个数为5.故选：B.4. （2021秋陕西安康高一校考阶段练习）设P,。是两个非空集合，定义PxQ=（,b）t?,力Q,若P=3,4,5,Q=4,5,6,7,则PX。中元素的个数是（）A.3B.4C.12D.16【答案】C【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.【详解】因为定义PXQ=（*）w尸Q,且P=3,4,5,Q=4,5,6,7,所以PxQ=（3,4）,（3,5）,（3,6）,（3,7）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（4,7）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（5,7）,PXQ中
4、元素的个数是12,故选：C.5. （2020秋.黑龙江哈尔滨高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为U,定义一种运算M=fn（N）,若全集U=R,M=xx2,N=x-3xf则MN=（）A.x-2xlB.xlx2C.xlx2D.x-2x【答案】C【分析】解不等式求得集合M,求得4,N,根据集合运算新定义，即可求得答案.【详解】由题意得M=p2=x-2x2,QJN=xx-3或x1,则M,N=xlx2,故选：C6. （2022秋上海浦东新高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果、bwG,则a-h.abwG,且bw时，fG时，我们称G是一个数域.以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（）b0是任何数
5、域中的元素；若数域G中有非零元素，则2022wG;集合P=xx=2kfkeZ是一个数域；有理数集Q是一个数域.A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据数域定义逐验证即可.【详解】由定义可知，a-a三G,即0是任何数域中的元素，正确：若域G中有非零元素m则q二lG,所以1+1二2G,1+2=3G,.1+2021=2022G,正确：a记=2,b=4,则1eP,但f=?必P,故错误；b2易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故正确.故选：C7. （2022秋北京房山高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A,8满足以下三个条件，则称（AS为集合U的一
6、种真分拆，并规定（AB）与（仇阖为集合U的同一种真分拆.Ae8=0；AuB=U;A的元素个数不是A中的元素，8的元素个数不是8中的元素.则集合U=123,4,5的真分拆的种数是（）A.4B.8C.10D.15【答案】A【分析】理解真分拆的定义，采用列举法洌出即可求解.【详解】根据真分拆定义，当集合A只有一个元素时，3有四个元素，此时只能是A=4,与=123,5；当集合A有两个元素时,5有三个元素,此时包括4=3,1,%=2,4,5、A=3,4,Bs=ZL5A三X5,三2,1,因为（AB）与（aA）为集合U的同一种真分拆,故只有四种真分拆.故选：A8. （2023春湖南长沙高三湖南师大附中校考阶
7、段练习）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A,集合B=kcZ-3xv4,A.3B.4C.7D.8【答案】C【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.【详解】由题中定义可知A=l,2,3,4,5,6,7,8,9,而8=xwZ-3x4,所以A=1,2,3,因此AC8真子集个数为231=7，故选：C9. （2023秋上海徐汇高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（I）OwA,1A;（2）若无,ywA,则x-yeA；（3）若XeA且X#0,则-A.则称A为“好集”.已知命题：集合1,0,1是好集
8、；对任意一个“好集”4,若KyeA,则x+ywA.以下判断正确的是（）A.和均为真命题B.和均为假命题C.为真命题，为假命题D.为假命题，为真命题【答案】D【分析】根据“好集”的定义逐判断即可.【详解】对于，因为11,0,-1,-11,0,-1,而一1一1=-2任1,0,-1,所以集合1,0,不是好集，故错误；对于，因为集合A为“好集”，所以OWAO-y=-ywA,所以-（-y）=+yA,故正确，所以为假命题，为真命题.故选：D.10. （2022秋.上海浦东新高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M,定义函数/“（幻=”“，对l,xM于两个集合用、N,定义集合，M=xw（x）/Va）=-1,
9、已知A=2,4,6,8,10,B=1,2,4,8,16,用IMl表示有限集合M中的元素个数，则对于任意集合M,|加0|十|加八川的最小值为（）A.5B.4C.3D.2【答案】B【分析】先根据定义化简MA,MM,再根据文恩图确定MA+MB最小值取法，即得结果.【详解】解：因为九(X)=L”，1,xeM所以v=Zw()Zv()=Zw()=,Zv()=3vfw()=-()=，=xIX/,X,?/UA-1XW,-v)=(7UN)(N17M),所以，MA=(M郑A)(AM),MB=M瘠B)(BM),所以，当MC(AC8)兀素个数最切LM中不含有A4的兀素之外的兀索时，MA+MB最小，因为4B=2,4.8
10、,所以当M=ACB=2,4,8时，MA当MB最小,(6,10)+l,16)=2+2=4,故选：B11. (2022秋天津和平高一天津市汇文中学校考阶段练习)若XeA且A就称A是伙件关系集合，集合XM=-1，023的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为()A.15B.16C.64D.128【答案】A【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，T,“3和：”，“2和四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为1A,-J-=1；-1A,j-=-l:2力，eA；3A,IcA；23这样所求集合即由1，-1,“3和g”，“2和y这斗大兀索所组成的集合的非空J：集.所以满足条件的集合的个数为2
11、4-l=15,故选:A.12. (2022秋宁夏石嘴山高一石嘴山市第一中学校考阶段练习)已知集合M=2,3,4,5,对它的非空子集A,可将A中的每一个元素人都乘以(Ty再求和(如A=2,3,5,可求得和为：2(-l)2+3(-l)5+5(-l)5=-6),则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是()A.18B.16C.-18D.-16【答案】D【分析】由知，先求解出集合M的所有非空子集分别出现的次数，然后，再根据范例直接计算总和即可.【详解】由己知，因为M=2,3,4,5,那么每个元素在集合M的所有非空子集分别出现23个，则对于“的所有非空子集执行乘以(-1再求和的操作，则这些数
12、的总和为：232-(-1)2+3(-1)3+4(-1)4+5(-1)5=-16.故选：D.13. (2023全国高三专题练习)含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如4,6,9的交替和是9-6+4=7；而5的交替和是5,则集合M=1,2,3,4,5,6)的所有非空子集的交替和的总和为()A.32B.64C.80D.192【答案】D【分析】依次计算集合1,1,2,1,2,3,1,2,3,4的所有非空子集的交替和的总和，然后归纳猜想出规律即可得.【详解】集合的所有非空子集的交替和的总和为Si=I,集合U,2)的所有非空子集的
13、交替和的总和为邑=1+2+(2-1)=4,集合1,2,3的所有非空子集的交替和的总和为S3=1+2+3+(2-1)+(3-2)+(3-1)+(3-2+1)=12,集合1,2,3,4的所有非空子集的交替和的总和为5=1+2+3+4+(2-1)+(3-2)+(4-3)+(3-1)+(4-2)+(4-1)(3-2+l)+(4-3+2)+(4-2+1)+(4-3+1)+(4-3+2-1)=32,由此猜测集合1,2,3,的所有非空子集的交替和的总和为邑二2,证明如下：将集合52,3,中所有的子集分为两类：第类，集合中无，第二类，集合中有这个元素，每类中集合的个数为2T我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：第类中集合A对应着第二类中集合A乂,此时这两个集合的交替和为篦，故集合1,2,3,/的所有非空子集的交替和的总和为S=2,所以S6=62=192.故选：D.14. (2022秋北京海淀高一人大附中校考期中)若集合4的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同,称A为互斥集.若A=也cql,2,3,4,5,且A为互斥集，则L的最大值为（）abcA.HB.史C,1D.土612460【答案】C【分析】由集合的新定义先确定集合A,而要想,+：+4取得最大值，则。力,
