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专题4导数与函数之：恒成立问题(二)淬炼策略六：主元法【例12】(2018全国卷1文科)已知函数“N)小Inv-I.(1)设丫=2是D的极值点.求，并求X)的单调区间；(2)证明：当“、！时，/(.no.e【解析】解法1:(1)/a)的定义域为(0,+8),f,(x)=aex-.X由题设知，八2)=0,所以。=表.从而/(x)=yer-Inx-l,f,()=-ex-.2e2ex当OVXV2时,(x)2时，,(x)0.所以/W在(0,2)单调递减，在(2,*，。)单调递增.1exexex1(2)当时，/(x)2Inx-I.设g(x)=Inx-I,则g)=.eeeex当0xvl时，g(x)l时，g,(x)0.所以X=I是g(x)的最小值点.故当x0时，g(x)2g=0.因此，当时，/(x)0.e解法2主元法1i令z()=eZ-InX-I,a-,则z()=e0,x0,故人(。)在一上递增，eeXXh(a)/?()=er1-InX-1,由于e*x=exl-lx-1,等号成立当且仅当X=I,e另一方面：x-llnx,等号成立当且仅当x=l.综上，A(),-lnx-lO,等号成立当且仅当X=L证毕.
