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1、第08讲简单列举教学目标&学用列举解决简单实际问题，能不重复、不遗漏的找到符合要求的答案。学发展学生思维的条理性和严密性。知识梳理篇，养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿,边拿边数筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数清了，这种计数的方法就是枚举法。一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。运用枚举法解决应用题时，必须注意无重复、无遗漏。为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。典例分析赧例1、从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？【解析】为了帮助理解
2、题意，我们可以画出如上示意图。文嵯公园我们把小华的不同走法一一列举如下:第一种走法：家*学校Q文嵯公园第二种走法：家电学校学文峰公园第三种走法：泰方学就多文峰公园第四种走法：京二十学历查女峰公园第五种走法：式堂学校%文峰公园第六种走法：家才学底专文峰公园第七种走法：本虞学校峰公园第八种走法：家一次学校毛文峰公园第九种走法：家或学校于攵峰公园第十种走法：家?学校电文峰公园第十一种走法：家q学菽茴文峰公园第十二种走法：家二毛芈校葺庆峰公园根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走路有4种不同走法，走路有4种不同走法，走路也有4种不同走法，共有4x3=12种不同走法。例2、用红、绿、黄三种信号灯组成
3、一种信号，可以组成多少种不同的信号？【解析】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号；绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号；黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2x3=6种。例3、一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？【解析】由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。下面列举出符合这个条件的各种长方形：长（米）109876宽（米）12345面积（平方米）1018242830这个长方形的面积共有5种
4、可能。例4、有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？【解析】把4个小朋友分别编号：A、B、C、D,A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样B小朋友也应打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了3x4=12次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A,照这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是342=6次。例5、一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？【解析】我们可以利用列举的方法:如果起点站是1
5、.那么终点站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么终点站只能是8、9或10；如果起点站是3.那么终点站只能是9或10；如果起点站是4,终点站只能是10；如果起点站是5、6时，就找不到与它至少相隔5站的终点站了;如果起点站是7,终点站只能是1；如果起点站是8,那么终点站是2或1；如果起点站是9,那么终点站是3、2或1；如果起点站是10,那么终点站是4、3、2或1。所以，起点到终点至少相隔5个车站的车票有：4+3+2+1+0+0+1+2+3+4=20种。例6、有一张5元、4张2元和8张1元的人民币，从中取出9元钱，共有多少种不同的取法？【解析】如果不按一定的顺序去思考，就可能出现遗漏或重复的
6、取法。因此，我们可以按照从大到小、从少到多的顺序，先排5元的，再排2元的，最后排1元的，把可以组成9元的情况一一列举出来。5元2元1元1O411212OO17O25O33O41从上面的列举中可以看出：取9元钱共有7种不同的取法。例7、有1、2、3、4四张数字卡片，每次取3张组成一个三位数，可以组成多少个奇数？【解析】要组成的数是奇数，它的个位上应该是1或者3。当个位是1时，把能组成的三位数一一列举出来：321,421,231,431,241,341共6个；同样，个位是3的三位数也是6个,一共能组成6x2=12个。例8、在一张圆形纸片中画10条直线，最多能把它分成多少小块？【解析】我们把所画直线
7、的条数和分成的块数列成表进行分析:O直线的条数012310所分块数11+11+121+1+2+31+1+2+3+.+101+1+2+3+.+10=56（块）例9、有一张长方形的周长是200厘米，且长和宽都是整数。问：当长和宽是多少时它的面积最大？当长和宽是多少时，它的面积最小？【解析】因为长方形的周长200厘米，所以，长方形的长+宽=100厘米。由于长和宽都是整数，我们可以举例观察。可以看出：当长与宽都是50厘米时，它的面积最大；当长与宽的差最大，即长99厘米，宽1厘米时，面积最小。例10、从1到400的自然数中，数字“2”出现了多少次？【解析】在1400这400个数中，“2”可能出现在个位、
8、十位或百位上。(1) “2”在个位上：2、12、22、92；102、112、122、192；202、212、222、292；302、312、392。共：o4=4O(次)(2) “2”在十位上：20、21、29；120、121、129；220、221、229；320、321、329o共104=40(次)(3) “2”在百位上:从200到299共100次。所以，数字“2”出现了10x4+100=180(次)。实战演练课堂狙击1、在1至IOo的奇数中，数字“3”共出现了多少次？【解析】采用枚举法，并分类计算：“3”在个位上:3,13,23,33,43,53,63,73,83,93共10个;“3”在十
9、位上：31,33,35,37,39共5个;数字“3”在1至IoO的奇数中出现的总次数：15次.2、在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个？【解析】枚举法：12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,62,67,72,77,82,87,92,97共18个.3、一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：这个长方形的面积有多少可能值？面积最大的长方形的长和宽是多少？【解析】这个长方形的长和宽之和是222=11（米），面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米。长方形周长一定，长和宽越接近，面积越大。这是有名的“等周问题”的特例长（米）10
10、9876宽（米）12345面积（平方米）10182428304、一个学生假期往A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另一个城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.问他的游览路线共有几种不同的方案？【解析】请看树形图.可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种，分别是： A-B-A-BA（4）ACABA AB-ATCTAATCTATCTA ABCBAACBCA.5、下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点.行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法？【解析】经过E点的有3条路线，不经过E点的有2条路线，共有5条不同的路线，见
11、下图.课后反击1、下图中有多少个正方形?【解析】根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个；第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个；第3类：由9个小正方形组成的正方形有4个；第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。24+13+4+1=42图中有42个正方形。2、在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？【解析】根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类：第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505,550；第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101,110,200；第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成510,501,150,1
12、05,600。可以表示101,105,110,150,200,501,505,510,550,600共10个三位数。3、用数字7,8,9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？【解析】根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：第1类：百位上的数字为7,有789,798；第2类：百位上的数字为8,有879,897；第3类：百位上的数字为9,有978,987O可以组成789,798,879,897,978,987共6个三位数。4、往返于宁波和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？【解析】我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类（注：为了
13、方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪）：第1类：从宁出发：A常T锡田宁苏T沪，3种;沪，2种;沪，4种;在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成4类。第2类：从常出发：帮f锡，4f第3类：从锡出发：至f苏第4类：从苏出发：贵一沪，1种。我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类，它的种数与第一大类完全相同。（4+3+2+1）2=20（种）铁路部门要准备20种车票。5、五个学生友1,友2,友3,友4,友5一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了个玩笑，他把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种
14、不同方式？【解析】数一数，共有11种不同的错拿方式.4 514 5 1 5 1 d 5334-54511453W三i直击赛场1、三个连续自然数，由小至大依次分别能被7、10、13整除，那么，所有这样的三个自然数组中，最小的一组是多少？（2012年第三届启智杯）【解析】若三个连续自然数，由小至大依次分别能被7、10、13整除，设三个连续自然数分别为n-2,n-l,由于n-1是10的倍数，所以末尾为0,n-2末尾为9,n末尾为1,先看n=13*m,那么m=l,2,3,4,.?n=13,23,39,.,由于n末尾为1,所以m=7,17,27,37,并满足n-2末尾为9,且n-2能被7整除。枚举发现只有当m=47时满足最小的条件,即n=611,n-l=610,n-2=609.名师点拨用列举法解题时需要掌握以下三点：1 .列举时应注意有条理的列举，不能杂乱无章地罗列；2 .根据题意，按范围和各种情况分类考虑，做到既不重复又不遗漏;3 .排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。学霸经验本节课我学到了我需要努力的地方是
