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1、高数、工科和微积分2013级下学期期末试题解答A卷x-ly-z-2一、1、2(x-l)+2(y-l)-(z-2)=0,=-；2、10,(4,2,3)1118223、(耳石忑)耳；尔-万，德;5、M二、B9C,C,A,D三、函数z=(x+y,XfW),其中/具有二阶连续偏导数，求空塞。xoxy解：S*+4+y/(4分)OX票=工：一九+货；+引一6+双+方+火力；一方+狙)(10分)xy四、(工科，盘锦)设曲线积分J(-2/(可-/(力+叱)Mr+/力在整个My平面内与路径无关，其中函数f(x)二阶连续可导，求函数的通解。解：由于曲线积分/(-2/(6-7(戈)+W卜公+广(6与路径无关，所以/
2、(X)=-2fx)-/(x)+xe,即广(幻+2/(幻+f(x)=xex(2分)特征方程产+2r+l=0,特征根q=弓=T,齐次方程通解K(x)=(c1+c2x)ex(4分)特解形式y(x)=xk2z,(x)e=(ax+b)ex(6分)将y(x)代入原方程并整理得：4t+4+4Z?=X所以有4=l,4+4b=0,解1111a=,b=-,；通解y(x)=(G+C23)e*+(%-N/。(10分)x+2y-1z(高数)已知两直线a：1二匕二三2,八二一二一。IO-I2O11(1)证明。，G为异面直线；(2)求。与G之间的夹角。解：=(1,0,-1),=(0,1,1),M1=(1,2,3),M2=(
3、-2,1,0)o10-151,52,M1Af2=011=-50,L1,L)为异面直线。(5分)-3-1-3.v1s21(2)CoSe=H=，9=。(10分)布|23(微积分)计算川y-qdrdy,D:-lxl,0yloD解：原式二J(y-2)dxdy+JJ(2一y)dxdy(4分)DlD2=JmzfMv+J：W(f-yMy=/(10分)五、已知L是第一象限中从点0(0,0)沿圆周y=J2x-Y到点。),再沿圆周j=Z-到点8(0,2)的有向曲线。计算曲线积分/=3x2ydx+(x3+%+2y)dy。解：设所补直线。为X=O(Oy2),方向向下，其参数方程为石：?，利用格林公式得：(2分)原式=
4、3x2ydx+(x3+%+2y)dy-3x2ydx+(x3+x+2y)dy(6分)=(3x2+1-3x2)dxdy-2ydy=-+4(10分)D22六、(1)写出函数/*)=SinX在/=0处的幕级数及收敛域;(2)求n0+1 彳2+1 (2w + l)!的和函数及收敛域。21+I解：1、/(x) = (-l)n-, (-oo,+)二 O(2 +1)! + 12、R? =- Iim Q+?. -+oo , r = +o0,收敛域(一匕+T8 + 2(3分)(6分)(2+ 3)!令 S(X) = S(-1)n=0(2n + l)!2n+lS(x)d- = l(-ir乙 /1=02+28v2w+l
5、=V(-1),=sinx(211+1)!2(2z71)!2/.S(%)=5sinxJ=；(sinx+XCOSX)x(-o,+)(10分)XdydZ七、求曲面积分分二一-f,其中是由曲面f+y2=尸及两平面Z=R和“人+y+zZ=-R(R0)所围立体全表面的外侧。解：设心,2,3依次为Z的上、下底和圆柱面部分，设;5依次为3被平面X=O所截的前部曲面和后部曲面，则（4分）ffxdydzffXdydZJJx2+v2+z2=JJa.2+,2+22xI2XdydZxdydzxdydz口+2+z2=j2+2+22fl,2+2+z2，J乙4,乙5/J-2一),2-/?2-J2=；-dydz-dydz/R+
6、zyR+zuyzuy72-r20 次“Z2jF7d 4;FTI5 = R22（10 分）一、1、2(x-l) + 4(y-2)-(z-5) = 0,x-l y-2 z-55,(4,1-1)5、82-一1-1-1-823、,3,35-I二、C,B,D,C,A三、函数z=（孙x-y,x+y）,其中/具有二阶连续偏导数，求当,。oxoxy（4分）氤+M助儿+心+竭- + C+弱一方+方(10 分)四、(工科,盘锦)设曲线积分(-2/。)-/(共)+2加)办+(大)办在整个平面内与路径无关，其中函数f(x)二阶连续可导，求函数f(x)的通解。解：由于曲线积分/(-2/。)-/(戈)+2叱)必+广物与路
7、径无关，所以f%x)=-2f,(x)-/(x)+2.、，即/(%)+2x)+/(X)=2xex(2分)特征方程产+2r+l=0,特征根4=弓=T,齐次方程通解K(x)=(c1+c2x)ex(4分)特解形式y(x)=xk2,(x)ex=ax+b)ex(6分)将y(x)代入原方程并整理得：4ov+4tz+4=2x所以有44=2,4+4b=0,(10分)x-1 y - 2 z-1X-2 y-1 z-3(高数)已知两直线Zq:,L2：二二o211-111(1)证明。，G为异面直线；(2)求。与4之间的夹角。解：(1)I=(2,U),三=(T,U),M=(1,2,1),%=(24,3)。rj211=-1
8、11=90,L1,L2为异面直线。(5分)1-12(10 分)(4分)(2)cos。=(微积分)计算jy-2ddy,D:0x1,0y1oD解：原式二J(y-)dxdy+(x2-y)dxdy二W/r2My+Mu2-,),=550分)五、已知L是第二象限中从点0(0,0)沿圆周X=历二了到点40,2),再沿圆周j=4-x2到点8(2,0)的有向曲线。计算曲线积分I=(3+y-2x)dx+3xy2dyo解：设所补直线。为y=0(0x2),方向向左，其参数方程为。二?，利用格林公式得：(2分)原式=J(y3+y-2x)dx-7xy2dy-+y-2x)dx+3xy2dy(6分)1.+L1Lt-j(3y2-3y2-)dxdy-(-2x)dx=4(10分)D22第六题和第七题同A卷
