刘蒋巍:用外接圆与椭圆定义直观求解两类三角形周长、面积范围.docx

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1、用外接圆与椭圆定义直观求解两类三角形周长、面积范围文/刘蒋巍【一般性的命题(一)】锐角三角形ABC中,A=6,0(0,生),角A、B、C所对边分别为。、b、c,2其中人为定值。(2) (1sincos)Z?Cac5(1+tan+)bCOSe【命题(一)问题(1)命题分析】边人、角。,均为已知定值。要保证三角形ABC为锐角三角形。可以先画出角A,在边AB上,取点稣、B2,使得ZABoC=90、NACB2二时(取直角三角形ABC为临界状态,来进一步研究)。若B点在A综段(不包含A与综)或4层的延长线上,此时,三角形ABC为钝角三角形。(不符合题意)要保证三角形ABC为锐角三角形,则B点在综修段。将

2、C综视为三角形ABC的高,AB视为三角形ABC的底。当点B在为层段运动时,从练到打,三角形ABC的面积逐渐变大。因此,SgC凤VSMCBVSgCB2,只需用边匕、角。表不出SMe殳、SAAC叫即可。TFl-b2sincosCtan*刖b2sinCb2tan于是,有:,亦即:一-5ac-【命题(一)问题(2)命题分析】边人、角。,均为已知定值。且由(1)的命题分析,可知:要保证三角形ABe为锐角三角形,则B点在综修段。+c什么时候最小,什么时候最大呢?可以运用椭圆的定义去转化。【用椭圆定义转化求解】以A、C为焦点,绘制一个经过点B的椭圆,作线段Ae的垂直平分线,交该椭圆于D点。运用椭圆的第一定义

3、以及三角形中“大角对大边”的性质,可知:2AD0=AD。+C=B0+CB0a+cAB2+CB2=AD2+CD2=2AD2【直观角度,迅速求解】从直观角度看,点D从A)运动到O2,AD是逐渐变大的。因此,当点B在综修段运动时,从BO到B?,三角形ABC的周长也逐渐变大。【注】当然,也可以不用“椭圆的第一定义”转化,直接用三角形中“大角对大边”的性质去比较判断。结论也是一样的。于是,有:(l+sin+cos)Z?(l+tan+-)Z?COSe【一般性的命题(二)】锐角三角形ABC中,A=,0(0,M),角A、B、C所对边分别为。、b、c,2其中。为定值。(3) (1+工+).。*1+与)。SIn夕

4、tan,Sing2【命题(二)问题(1)命题分析】注意到:定边。所对角。为定值,属于“定弦定角”,故构造三角形ABC的外接圆。还是找临界状态,一个“临界状态”是N4)CB=90或乙”C=9(时;另一个“临界状态”是点A到边BC距离最远时,此时点A在线段BC的垂直平分线上。若A点在优弧44段(不包含B、C、4、A3),此时三角形ABC为钝角三角形。(不符合题意)若A点在4或A3处,此时NA)CB=90或ZAIC=90。(不符合题意)要保证三角形ABC为锐角三角形,则A点在劣弧44段。当点A从4运动到A2时,点A到边BC距离越来越大;当点A从A2运动到&时,点A到边BC距离越来越小。底边BC不变,

5、则三角形ABC的面积随着点A到边BC距离的增大而增大,减小而减小。故,SjCB=A3CBAACB2CB于是有:鼻S12tan4tan2【命题(二)问题(2)命题分析】【用椭圆定义转化求解】以B、C为焦点,绘制一个经过点A的椭圆,作线段BC的垂直平分线,交该椭圆于D点。运用椭圆的第一定义以及三角形中“大角对大边”的性质,可知:2CD0=BDO+CD。=Bii+CAb+cBA2+CA2=2CA2【直观角度,迅速求解】从直观角度看,点D从。O运动到&,CD是逐渐变大的。因此,当点A从4运动到4时,三角形ABC的周长越来越大;当点A从A2运动到A3时,三角形ABC的周长越来越小。当点A在线段BC的垂直平分线上(即A2时),三角形ABe的周长最大。故,CAAoCB= C14jC8 ACB - 2CB于是,有:(1+工+JH)CM(l+-Sln夕tansin22作者简介:刘蒋巍,中国数学会会员,中学数学创新思维联盟公益大使,江苏高考数学复习指南、学会编题:教师培训用书、新时代人力资源管理教程等20余本图书作者。联系作者:2733725655(QQ.com或15050646023

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