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1、抽象函数性质知识总结与题型归纳1概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2常见抽象函数模型题型一：“巧妙赋值”求函数值问题技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：(1)第一层次赋值：常常令字母取0,1,1等(2)第二层次赋值：若题中有条件f(x0)=t,则再令字母取X。.(3)第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积(较多)或者差与商(较少)。例1：已知函数f(X)是定义在(0,+8)上的函数，且对任意,y(0,+8),都有/(秒)=f(%)+f(y),2)=1,求/(4)/
2、(8).【解析】对任意,y(0,+),都有/(孙)=(x)+f(y),2)=1,/(4)=f(2X2)=/(2)/(2)=2,f(8)=f(24)=f(2)+f(4)=3.例2:已知/(x)定义域为R,对任意XjeR都有/(+y)=()+(y),当x2时，/Cv)1)+2|/(1)2令n=1,得/(1)=/(0)+2(1)2=2(1)2,f.(n+l)-(n)=i(n)=p即f(2001)=等.变式1.设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件对任意正数,y,都有/(Xy)=/O)+f(y);当%1时Ja)0时,f(x)1;求f(4)J(16)的值；解析：千(1)=2,f(2
3、)=f(1+1)=f2(1)=4：Af(4)=f(2+2)=f2(2)=16题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题知识再现1:抽象函数的单调性常用单调性定义证明(1)任取1，不。，且(2)作差f(右)一/(%2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出fOD一/(必)此步有时也会用作商法：判断翳与1的大小；f(2)(3)变形；(4)定号(即判断差/(右)一/02)的正负)；(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间。上的单调性).知识再现2:证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。1 .可赋值，得到一些特殊点函数值，如f(O),f(1)等，2 .尝试适当的换元字母，构造出X和X,如f(x+y)
4、,可令y=x,f(y),可令y=1等等。3 .通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。例1：已知函数./W定义域为卜1/，若对任意的乂丁目-1，都有/(+y)=W+(j),且o时，f()o.(D判断/的奇偶性；(2)讨论/3的区间,l上的单调性;(3)设/=-4,若W-2加+1,对所有x7,l,Tl恒成立，求实数机的取值范围.解析：(1)因为有/(x+y)=(x)+(y),令x=y=O,得/(0)=/(0)+/(0),所以0)=0,令V=T可得：/(0)=(x)(-x)=0,所以/()=-(),所以/为奇函数.(2)由题意设T王O时，有/(x)O,所以/(X2-X)o,即/(2)(x)所以
5、X)是在T1上为单调递减函数;(3)因为/&)在-1,1上为单调递减函数，所以/(X)在上的最大值为/(-1)=-/0)=4,所以要使/(%)OU(I) 0w2-2am+14,m1-2am-30,g(a)=n2-2am-3=-2am+m2-3所以加一3或加 3.2mm2-30-2m+n2-30变式1：设函数/()对任意的实数X,都有/(+y)=()+(y),且0时，W0,7(-1)=-2.(1)求证：/(%)是奇函数；(2)试判断函数/(x)单调性；(3)试问当-2x2时，/(x)是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.解析：(1)证明：依题意令=y=o,得/(0)=/(
6、0)+/(0),即/(0)=0,令J=T得/(O)=/()+/(T)=O,/(T)=-f(x),，/(X)是奇函数.(2)单调递增函数，理由如下：任取Xi./wR,设XX2,则为-X20,由已知可得/(%-七)。，V()-()=()+(2)=(i-),(jl时f(x)(2x)的解集.解析：(1)x1=x2=11(ll)=(l)+(l),即/(1)=0,取X=/=T得/(1)=/(-1)+/(-1)=0,即/(T)=0,取Xl=X,七=T得/(T)=/(x)+(T)=(x),即/(x)是偶函数./(2)设占20,则%1,由xl时，/(x)0得/五0,则x2x2JfM=f2=(2)+f-(2x)等
7、价为X-IWO2x0 得xlX 0 且X 1/3x2+2x-10/(,-)(2x),k-1II2-vII(x-i)2(2x)2即AYT或;X,即不等式的解集为xxT或gxl.变式2：已知函数/(K)对于任意实数X,R恒有/(+y)=()+(y),且当XVO时，o,又/()=.判断f()的奇偶性并证明；求/(%)在区间-3,3的最大值；(3)解关于X的不等式：/(0r2)-2(ax)-2.解析：(1)/S)为奇函数，理由如下：函数/()的定义域为R,关于原点对称。令x=y=O得：/(0)=2/(0),解得：/(0)=0令V=T得：/(x)+f(-x)=/(0)=0所以/(-X)=-/(x)对任意
8、XWR恒成立所以/5)为奇函数任取占，T2(-,+),且XIVX2则王一工20因为当x0时，/(x)0所以/(x1-x2)0,即/(石)+/(-)0由第一问知，/为奇函数。所以/(f)=-/(W),则)-(9)o,即fMfM所以/(X)在火上单调递增，所以/（八）在区间-3,3的最大值为/(3)因为/(T)=-1,/(X)为奇函数所以/=1。令x=y=l得：/(2)=/(1)+/(1)=21,乃2得:/(1+2)=/(1)+/(2)=1+2=3,即/(3)=3(3)因为/(仆2)-2/(幻/()一2。所以/(公2)_/(幻/(+/(奴)_2=/(工+公)2由(1)可知，/为奇函数，由(2)知，
9、八2)=2。所以/(/)-/(x)/(x+g)-/(2)即/(公2)+/(_工)/。+”)+/(_2)。所以/(2x)v/(x+”2)由(2)可知，/(x)在R上单调递增。所以-+-2整理得：0r2-(+2)x+20,Kp(or-2)(x-l)0-OO,二 lu(l,+2-2x+2l,当0时，-0,解集为当 = 2时,2(-1)20,解集为 0 ,当 01,解集为卜50-,解集为(2,1综上：当。=0时，解集为。,e)，当OB寸，解集为-oo,ju(l,+oo),当 = 2 时,解集为0,当02时，解集为例3:已知函数V=(x)的定义域是夫,对于任意实数机，恒有/(w+w)=(zw)(11),
10、且当x0时，0(x)OB寸，0(x)OB寸，0(x)0.(0)=l；设?=X0,.(0)=(x)(-x),(X)=.0(-x)1.即当xl.即/()0恒成立,设王0,0(x2-)r1)(x1)-(1)=(Arl)(x2-x1)-l0,(2)-(x)0,即/(x2)0时，/Wl.(1)求/(0)的值；(2)证明:/(%)在(-如+8)上是增函数；(3)解不等式/(“一2)息用.解析：(1)因为任意实数,b都满足S+b)=(a)(b),令=l,6=0,则/(1)=/(1)/(0),.(i)o,/(0)=(2)当x0,.(X)(-X)=(x-Af)=/(0)=1,V/(-X)O,/(x)0,即xR时，即x)0恒成立,设任意的AZeR,且x0,/(W石)1, f(x2 -x)/U2)/Ui)l.(x2)(xl),即/(x)在(-8,+ 8)上是增函数,(
