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1、抽象函数性质知识总结与题型归纳1概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2常见抽象函数模型题型一：“巧妙赋值”求函数值问题技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：(1)第一层次赋值：常常令字母取0,1,1等(2)第二层次赋值：若题中有条件f(x0)=t,则再令字母取X。.(3)第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积(较多)或者差与商(较少)。例1：已知函数f(X)是定义在(0,+8)上的函数，且对任意,y(0,+8),都有f(%y)=f(%)+f(y),f(2)=,求/(4
2、)/(8).例2:已知/(X)定义域为R,对任意XJeR都有/(+y)=()+(y)-,当42时，/(x)1时,f(%)0时，f(x)1；求f(4)(16)的值；题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题知识再现1:抽象函数的单调性常用单调性定义证明(1)任取1,QWO,且XlVX2；(2)作差/(修)-/(2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出fCq)-f(%2)此步有时也会用作商法：判断留与1的大小；/(2)(4)定号(即判断差f(%)-f(%2)的正负)；(5)下结论(指出函数/(%)在给定的区间。上的单调性).知识再现2:证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。1 .可赋值，得到一些
3、特殊点函数值，如f(O),f(1)等，2 .尝试适当的换元字母，构造出X和X,如f(x+y),可令y=x,f(xy),可令y=1等等。3 .通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。例1：已知函数./W定义域为-1，若对任意的,y-1，都有/(x+y)=(x)+(),且x0时，/(x)0.(1)判断了S)的奇偶性；(2)讨论幻的区间卜川上的单调性；(3)设3=-4,()m2-2三+l,对所有xw-U,eTl恒成立,求实数次的取值范围.变式1：设函数/()对任意的实数,yeR,都有/(+v)=()+(v),且XVO时，/Cv)l时/(O,求证：/(X)在(0,+8)上是减函数；求不等式-i)(
4、2)的解集.变式2：已知函数/()对于任意实数X,恒有+y)=()+V),且当0时，,又/(T)=T.判断八X)的奇偶性并证明；(2)求/(X)在区间-3,3的最大值;解关于X的不等式：f(ax2)-2f(x)0时，0(x)0时，/()l.(1)求/(0)的值；(2)证明：/(x)在(-8，+8)上是增函数；(3)解不等式/(-2)1时f(x)0,若f(3)=1.(1)判断f(x)的单调性；(2)解关于X的不等式/(3+6)+d)2;X(3)若)-2t三+l对所有xe(0,3,-l,l恒成立，求实数加.例5：设函数y=()的定义域为R,并且满足/J-y)=*)-(y),且八；)=-1当0时，/
5、W/(2x)-2,求X的取值范围；变式5：定义在R上的函数/(),满足对任意,yeR,有/(-y)=()-(y),且/(3)=1011.求/(0),/(6)的值；判断/()的奇偶性，并证明你的结论；(3)当x0时,/(x)0,解不等式/(2x-4)2022.例6:已知函数幻是定义在R上的非常值函数，对任意x、yeR,满足f(y)=f()f(y).(1)求/(0),/的值；(2)求证：对任意Xw(0,+8)J()0恒成立；(3)若当0l时，/()l,求证：函数/(外在(0,+8)上是增函数.变式6：已知定义在R上的函数/()满足：对任意的实数x,y均有/(盯)=/()3,且/(T)=T,当0xl
6、且/()oB+,/(x)4变式7：已知/()定义域为R,对任意XJWR都有f(+y)=()+(y)T,当2时，/(x)0,2)=0.(2)试判断/()在R上的单调性，并证明？(3)解不等式：2(2x)2-(+2x+2)-2O.若VxR,PyWR,/一机(2k+力+4少+43恒成立，求实数次的取值范围.例8:定义在。=(-2,0)d(0,2)上的函数/(x),对任意XjCO,都有f(y)=f()+f(y)-2,且当o2.(1)求/与/(-1)的值；(2)证明/()为偶函数：(3)判断y=(x)在(0,2)上的单调性，并求解不等式/(2x-l)2.变式9.定义在/=(-2,0)50,2)上的函数/(X),对任意X,yl,都有f(xy)f()+f(y)-2;且当0x2.(1)求/(-1)的值；(2)证明X)为偶函数；(3)求解不等式八2x-1)0,恒有f(%+T)=/(%),则在区间0,2T上，方程/(%)=0根的个数最小值为.例2：/()是定义在K上的函数，对一切,蚱R,都有/(+y)+(-y)=2(x)(y),且/(O)H0.(1)求/(0);(2)判断函数X)的奇偶性变式1.已知函数/()满足TX,ywR,f(+y)+f(-y)fMf(y),0)=,且在区间0,i)上，/()o恒成立.(1)证明：/是偶函数；(2)求/)；(3)证明：/S)是周期函数.
