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1、数列中的恒成立和存在性问题O考法呈现恒成立与裂项相消求和恒成立和分组求和恒成立与数列的函数特性恒成立与裂项相消求和数列中的存在性问题我考法一：数列中的恒成立问题满分秘籍数列的“存在性和恒成立问题”的本质是不等式的问题，是高考中的热点问题。在出题上，经常巧妙的植入数列的求和中。因此数列的恒成立问题可以采用不等式的方法来求解，比如可以进行“参变分离”后等价转化为函数的最值问题进行求解。&例题分析【例1-1恒成立与分组求和已知数列r的前n项和为S71,点(珥Sn)在曲线/一2%+y=O上.(1)证明：数列%为等差数列；(2)若%=(-l)nn,数列九的前几项和7；满足mT；-27；对一切正整数n恒成
2、立，求实数Tn的值.【例1-2恒成立与裂项相消求和已知各项均为正数的数列Qz满足2户=n+l,其中Sn是数列SC的前项和.(1)求数列rl的通项公式；4S-l S3-I(2)若对任意11N+,且当？2时，总有4+三？+三7+-+三？/1恒成立，求实数;I的取值范围.【例1-3恒成立与错位相减求和已知数列az的前几项和为%，QI=1，+1=2Sn+2n+1,nN*.(1)求数列z的通项公式；(2)设匕=黑，仙r的前几项和为国，若对任意的正整数小不等式空/恒成立，求实数Tn的取值范围.【例1-4恒成立与数列的函数特性在Sn=2bn-l,4心=hn-1(n2),bn=V1+2(n2),这三个条件中任
3、选一个，补充在下面问题中，若问题中的女存在，求出攵的值；若女不存在，说明理由.已知数列为等比数列，1=三,a3=a1a2,数列b11的首项瓦=1,其前项和为S11,是否存在kN,使得对任意N,nkM恒成立？窗变式训练【变式1-1在2Sn=3an-3；%=3,log3n+=Iog3an+1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.设数歹Jn的前n项和为Sn,满足,bn=-,neNan+(1)求数列c的通项公式；(2)若存在正整数沏，使得%05对VWN*恒成立，求沏的值.【变式12在数列册中，a1=1,an+1=l-,bn=其中nN*.4an2an-l(1)证明数列瓦是等差数列，并写出证
4、明过程;(2)设Cn=煞，数列cr的前n项和为乙，求Tn；(3)对V-N*,使得5+3)4恒成立，求实数4的最小值.【变式13已知数列册的前几项和为%，a1=3,2=要?，neN*.(1)求S2,S3及Sn的通项公式；(2)设吃数列为的前?I项和为，若4(n-l)对任意的几WN.恒成立，求;I的最小值.【变式1-4已知数列r的各项均为正数，其前几项和Sn满足2图=n+l,数列%满足%=1(0n+l)(n+1+D,(1)求%l的通项公式；(2)设数列%的前几项和为Tn，若平VTnV5m对一切N*恒成立，求实数m的取值范围.【变式15】图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比
5、数列，且公比均为实数q,%,1O,%,3=5,a2,2=-6,Q本2=a7,s(1)设%=a”，求数列%的通项公式；(2)设Sn=Qu+a2,1+an4,是否存在实数人使ar,/IS71恒成立，若存在，求出;I的所有值，若不存在,请说明理由.%考法二：数列中的存在性问题息例题分析【例2】已知：正整数列即各项均不相同，N,数歹J7J的通项公式二畸三等(1)若G=3,写出一个满足题意的正整数列%的前5项：(2)若QI=I,a?=2,Tn=手，求数列n的通项公式；(3)证明若VkN*,都有以n,是否存在不同的正整数i,/,使得刀，7)为大于1的整数，其中TiV满分秘籍数列的“存在性和恒成立问题”的本
6、质是不等式的问题，是高考中的热点问题。在出题上，经常巧妙的植入数列的求和中。因此数列的恒成立问题可以采用不等式的方法来求解，比如可以进行“参变分离”后等价转化为函数的最值问题进行求解。变式训练【变式21】记Sn为正数列时的前几项和，已知Sn-n是等差数列.求产;a100(2)求最小的正整数m,使得存在数列%l,Srn-W12.【变式2-2】已知数列，且：黑黑(1)设%=Qzn+Qzn-I，证明:耳一3是等比数列；(2)设数列的l的前项和为无,求使得不等式Srl2022成立的n的最小值.【变式23已知数列aj是正项等差数列，其中=l,且&、必、必+2成等比数列；数列b11的前项和为Sg满足2Sn
7、+bn=l(1)求数列an、bn的通项公式；(2)如果Cn=anbn,设数列Cn的前项和为Tlv是否存在正整数，使得T11Sn成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.【变式2-4】已知数列n满足%=2an+n=数列brl满足瓦=1，bn+1-(nl)bn=n2+n.(1)数列a，b的通项公式；(2)若Cn=(bn+1-bn)an,求使q+c2+c2+cn2021成立(cJ表示不超过Cn的最大整数)的最大整数几的值.3真题专练1.在公差不为零的等差数列“中，%=1，且,。3，的3成等比数列，数列瓦的前几项和Sn满足Sn=2bn-2.(1)求数列%和瓦的通项公式；(2)设Cn=bn-anf
8、数列7的前几项和乙,若不等式7+n2-nIog2(1-)对任意九N*恒成立，求实数的取值范围.2 .已知数列Qr的前项和为Sr,1=-,且50n+Sn+16=O.(1)求数列册的通项；(2)设数列%满足4%+(n-5)n=O(nN),记%的前项和为4，若7；助“对任意nN*恒成立,求实数入的取值范围.3 .己知数列4l的前Ti项和为Sn,当n2时，Sn(Sn-n+l)=Sn-1.(1)证明：数列2是等差数列；(2)若=点数列的前n项和为，若ZnTn(九2+16)2l恒成立，求正整数血的最大值.4 .在数列即中，仰=一|，2an=an-1-2n-2(n2).(1)证明：数列册+2九是等比数列；记
9、数列nQl+2n)的前n项和为及，若关于n的不等式九(2-”)鬻恒成立，求实数义的取值范围.5 .已知等比数列4l的前n项和为Sn,arl+=Sn+2(nN*).(1)求数列ar的通项公式；(2)在an与册+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个等差数列，记插入的这九个数之和为，若不等式(-l)n0)的图像在点(l,f(1)处的切线与直线X+2y1=O垂直.(l),b满足的关系式；(2)若f(x)21nx在1,+8)上恒成立，求的取值范围；(3)证明：y2n邛二ln2-2(N)乙ZC=Ik4n7 .已知数列n中,a1=2,nan+1-(n+l)=2(n2+n)(nf+)(1)证明：数列早是等
10、差数列，并求数列%l的通项公式；(2)设以二3乜，数列%的前Ti项和为%,若7；V(neN+)恒成立，试求实数加勺取值范围.8 .已知数列%的前项和为又，且WSn=2n-2-1求数列1的通项公式；(2)记%=7吃7?数列%的前项和为与，若不等式2(2兀+1-1)V4+磷对任意TlN*恒成立,求实数；I的取值范围.9 .已知数列%是首项%=p公比q=:的等比数列，设与+2=31og1n(nN),数列cr满足c7l=anbn.444(1)证明：数列%成等差数列.若Cnm2+m-1对一切正整数九恒成立，求实数m的取值范围.解析【例1-1恒成立与分组求和已知数列71的前几项和为S71,点(几,sn)在
11、曲线/一2x+y=O上.(1)证明：数列rl为等差数列；(2)若%=(-l)nn,数列%的前n项和7；满足HIT”-27；对一切正整数n恒成立，求实数Tn的值.【答案】(1)证明见解析；(2)m=1【分析】(1)利用a”,Sn的关系结合等差数列定义即可证明；(2)分奇偶项讨论，先得出Tn,分离参数，求辛的最值即可.*n【详解】(1)将点(11,5n)代入曲线/-2x+y=O得：Sn=2n-n2=Sn_1=2(n-1)-(n-l)2,(n2),故r=Sn-SnT=3-2n(n2),又Sl=2l-l2=l=1,符合上式，所以n=3-2n(nN4),则+1-册=-2,故n为1为首项，-2为公差的等差
12、数列；/C、rh/1、-T4.13-2n,n为偶数(2)由(1)可知：bn=,(.2n-3,Ti为奇数若n=2k(kN*),则”=(b1+%+b2k-1)+(b2+.+b2k)=T+2(27)-3k+(T+3；x2k.=2炉-3k+(-2k2+k)=-2k=-n,此时哂l-2TrQmN臂=1一熹易知/S)=1-；单调递增，/(n)易知f5)=l+看(?3)单调递减，故IVfS)f(3)=3,故ml又Zl=I,时，7,1=b1=-1mTn-2Tn=m-2-1=m1,即m-1,1;综上所述，对于VN*,Tn=I满足不等式恒成立.【例1-2恒成立与裂项相消求和已知各项均为正数的数列n满足2户=an+
13、l,其中Sn是数列r的前项和.(1)求数列gr的通项公式；(2)若对任意N+,且当Ti2时，总有怖+J1+c11V:怛成立,求实数A的取值范围.451S2-IO3-ISn-I【答案】(l)an=2n-lU+8)【分析】(1)由all与Sn的关系式即可证得数列ar是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列a的通项公式；(2)由等差数列的前n项和公式求出S11,再由裂项相消法可证明白+47+tl7+7V1,即可求4bj83eI03-15n-1出实数人的取值范围.【详解】(1)V2%=anl,Sn=(i)2当n=1时，S1=a1=(8今，解得a1=1.当n2时，atl=Si1-Sm=(呼)2(N)即Sn+an-l)(an-an-l-2)=0s+a1103n3n_j-2=0,数列a是以1为首项，2为公差的等差数歹U，an=2n1.(2)因为a11=
