第03讲5.3.1函数的单调性(解析版).docx

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1、课程标准学习目标理解导数与函数的单调性的关系。掌握利用导数判断函数单调性的方法。能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。会利用导数证明一些简单的不等式问题。掌握利用导数研窕含参数的单调性的基本方法。通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性,会求简单函数的单调区间,能证明简单的不等式,会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.知识点OL函数的单调性与导数的关系(导函数看正负,原函数看增减)函数y=/()在区间(出与内可导,若/()o,则/()在区间(出力内是单调递增函数;若,()0,则/()在区间SM内是单调递减函数;若恒有(x)三0,则/(x)在区间(a,b)内是常数函数.注意:讨论函

2、数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则条件恒有结论函数y=()在区间(。,6)上可导()oV=(x)在力)内单调递增roy=f()在S,6)内单调递减,(x)三0y=()在内是常数函数【即学即练1(2023下新疆巴音郭楞高二校考期末)如图所示是函数/(x)的导函数/(x)的图象,则下列判断中正确的是()A.函数/(力在区间(-3,0)上是减函数B.函数/(X)在区间(1,3)上是减函数C.函数/(X)在区间(0,2)上是减函数D.函数/(X)在区间(3,4)上是增函数【答案】A【详解】对于选项A:当-3xv0时,(x)0,则/(x)在(-3,0)上单调递

3、减,故A正确;对于选项B:当lx0;当2x4时,,(x)0:则/(力在(1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,故B错误;对于选项C当0x2时,/0,则%)在(0,2)上单调递增,故C错误;对于选项D:当3x4时,/(x)o,解不等式,求单调增区间令r)0(或/(X)VO)不跟等号.【即学即练2】(2023下四川资阳高二统考期末)函数/(X)=X-Inx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(l,+)C.(0,+)D.(0,1),(0,+oo)【答案】A【详解】因为/(x)=x-lnx,所以函数/(%)的定义域为(0,+),所以/(X)=I-L由r()=jLo有:x已知函数/(X)在区间。

4、上单调已知/(x)在区间O上单调递增=xO,/(x)0恒成立.己知/(x)在区间O上单调递减。xD,/(x)0恒成立.注:已知单调性,等价条件中的不等式含等号.2、已知函数/(X)在区间。上存在单调区间己知/(x)在区间D上存在单调增区间3xD使得f,(x)0有解已知/(x)在区间D上存在单调减区间o3x。使得/(X)0有解3、已知函数/(x)在区间。上不单调o*o使得/(/)=O有变号零点【即学即练3】(2023上新疆高三校联考期中)已知函数/(力=/+如在区间0,+8)上单调递增,则。的取值范围为.【答案】-l,+g)【详解】因为/(x)在区间0,+8)上单调递增,所以当x0,+)时,/(

5、x)=e+O恒成立,即-e*在。,+8)恒成立,又(YX)=-1,所以07./max故答案为:-1,+)【即学即练4】(2023上贵州贵阳高三清华中学校考阶段练习)已知函数/(X)=InX-存在单调递减区间,则实数。的取值范围是.【答案】信,+【详解】函数/。)=】政-3及-工的定义域为(,+功,求导得/(X)-如-1,依题意,不等式/(x)0在(0,+e)上有解,等价于在(0,+e)上有解,而4-L=(1-IT-J当且仅当=2时取等号,则。一,X2XU2;444所以实数a的取值范围是(-:,内).故答案为:.知识点04:含参问题讨论单调性第一步:求,=(x)的定义域第二步:求/(X)(导函数

6、中有分母通分)第三步:确定导函数有效部分,记为g()对于y=()进行求导得到/(X),对/(X)初步处理(如通分),提出/)的恒正部分,将该部分省略,留下的部分则为了(X)的有效部分(如:/0=珑,-广+2),则记8(不)=/一+2为/口)的有效部分).接下来就只需考虑导函数有效部分,只有该部分决定了(X)的正负.第四步:确定导函数有效部分g()的类型:g()为一次型(或可化为一次型)g()为二次型(或可化为二次型)第五步:通过分析导函数有效部分,讨论歹=()的单调性题型Ol求函数的单调区间【典例1】(2022下湖北高二统考期末)函数/(x)=;/-Mx的单调递减区间为()A.(-1,1)B.

7、(0,1)C.(l,+)D.(,+oo)【答案】B【详解】解:因为/(x)=;r-nx,所以/,LG)(+),XX令,()0,得Oxl,所以x)的单调递减区间为(0,1),故选:B【典例2】(2023下河北沧州高二校考阶段练习)函数/(x)=2x-51nx-4的单调递减区间是()A.(0,3)B.(3,+)UIT0,【答案】D【详解】r()=2-p定义域为(0,+8),令r()o,解得ox0,x-,因此/&)的增区间是(士+,ce因此ABD正确,C错误.故选:ABD.题型02函数与导函数图象间的关系【典例1】(2023高二课时练习)已知函数/(x)的导函数/(X)的图象如图,则下列结论正确的是

8、()A.函数/(x)在区间(-2,1)上单调递增B.函数/O)在区间(L3)上单调递减C.函数/(x)在区间(4,5)上单调递增D.函数/在区间(-3,-2)上单调递增【答案】C【详解】山导数的图象可知,当x(T2)U(4,5)时,/(力0,所以/(x)在区间11,2),(4,5)上单调递增,故C正确;当2x4时,(x)0,所以/(切在区间(2,4)上单调递减,-3x-lW,0,则/(x)在区间(-3,-1)上单调递减,故A、B、D错误;故选:C.【典例2】(2022下广东深圳高二统考期末)设/(X)是函数/(x)的导函数,V=(x)的图象如图所示,则y=()的图象最有可能的是()【答案】C【

9、详解】由导函数的图象可得当x0,函数/(切单调递增;当0vx2时,,(x)2时,/钢0,函数/()单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.【变式1(2023下四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期中)已知函数y=()(eR)的导函数/()的图像如图所示,则函数y=()()A.在(Yo,-2)上单调递增B.在(1,+8)上单调递减C.在(3,3)上单调递增D.在(3,+)上单调递减【答案】D【详解】由图可知:当XV-2时,/(x)O,(x)单调递减,当一2x3时,f(x)OJ(x)单调递增;故选:D.【变式2(2022湖南校联考二模)设函数/(x)在定义域内可导,y=(x)的图象如图所示,则

10、其导函数y=)的图象可能是()【详解】由/()的图象可知,/(X)在(y,o)上为单调递减函数,故w(-oo,0)时,Ir(X)0,故排除A,c;%(o,+)时,函数/()的图象是先递增,再递减,最后再递增,所以f(%)的值是先正,再负,最后是正,因此排除B,故选:D.题型03已知函数/(X)在区间。上单调,求参数【典例1】(2023上广西高三南宁三中校联考阶段练习)若函数/(4)=2t-(x+2)lnx是(0,+功上的减函数,则实数。的最大值为.【答案】1+历&/0+1【详解】由函数/(x)=2x-(x+2)底是(0,+8)上的减函数,则/(x)=2-hu-0在(0,+3)上恒成立,X即2a

11、lav+在(0,+8)上恒成立,X设g(x)=lnx+l+2,则g,(X)=J_=j2,XXxx当x(0,2)时,g(x)0,函数g(x)单调递增,可得g(x)min=g(2)=2+ln2,所以l+ln,即实数的最大值为1+ln.故答案为:l+ln【典例2】(2023海南校联考模拟预测)设01且;,若函数/(x)=bg.X+lx在(0,+功上单调递增,则a的取值范围是.【答案】【详解】由题意知:/(X)= 二+XlnaIn a +ln 2 ax In 2a XInQ In 2a当0。;时,Ina0,In2a0,所以/(x)O,所以/(x)在(0,+。)上单调递减;当;vl时,ln40,要使/(

12、x)0,则ln+ln20,整理得InQ所以0,解得2_也.故答案为:TJ【典例3】(2023上辽宁大连高三大连市金州高级中学校考期中)若函数x)=(x+l)lnx-ax在(0,+功具有单调性,则。的取值范围是()A. (2,+,(x)=lnx+-+l-,当函数/(X)=(+l)lnx-or在(0,+8)单调递增时,x)0恒成立,得aWlnx+l,设g(x)=lnx+2+lng,(X)=I_=!,XXXXX当xl时,g(x)O,g(x)单调递增,当OX1时,g(x)l时,g(x)O,g(x)单调递增,当OX1时,g(x)O,g(H单调递减,所以g(x)mhl=g(l)=2,显然无论。取何实数,不等式r()o不能恒成立,综上所述,的取值范围是(-8,2,故选:C【变式1(2023上江苏苏州高三常熟中学校考阶段练习)己知函数y=lnx+0在2,+)上单调递增,则X实数的取值范围是.【答案】a2

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