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1、第06讲拓展一：数列求通项一、知识点归纳知识点一：数列求通项(S法、T,法)1对于数列”,前项和记为s.；s“二囚+出+4+1+“；Se=%+4+%+。吁1(22)。：Sn-Sn=an(n2)S“法归类角度1：已知S”与见的关系；或S“与的关系用H-Se,得到勺例子：已知4S“=(an+1)2,求角度2：已知与STTEJ的关系；或。与区+6二的关系S“S1替换题目中的凡例子：已知2%=SRtS2)；已知=an+l邪1角度3：已知等式中左侧含有：aAJ=I作差法(类似Sn-S“7)例子：已知q+2%+3%+nan=2求an2对于数列%,前项积记为7；驾=%/；&1=-q-iQ2)+：Ji-=n(
2、2)7；法归类角度1：已知7；和的关系角度1：用“，得到见4-1例子：也的前项之积72=(n)角度2：已知7；和%的关系角度1：用/替换题目中/-I12例子：己知数列%的前项积为4,且丁+尸=1.n知识点二：累加法(叠加法)若数列%满足%+”=/()Se),则称数列%为“变差数列”,求变差数列%的通项时，利用恒等式a”=q+Q-)+(2-%)+(6)=%+/+2)+/(3)+/(-1)52)求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：将上述-1个式子相加(左边加左边，右边加右边)得：(a2-al)+(a3-a2)+(a4-%)+(“一=/0)+/(2)+/(3)+/(-1)整理得：aw-1=/(1)
3、+/(2)+/(3)+/(-1)知识点三：累乘法(叠乘法)若数列%满足皿=/()SWN),则称数列册为“变比数列，求变比数列%的通项时，利用an=-=/O)*/(2)/(3)(-1)(2)求通项公式的方法称为累乘法。qa%具体步骤：将上述”-1个式子相乘(左边乘左边，右边乘右边)得：整理得：=(1)(2)(3)f(n-l)a知识点四：构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如。+1=反“+2(k,p为常数,kpO)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为a+m=k(an+m)(其中：=，由此构造出新的等比数列%+“?,先求出%+?的通项，从而K-I求出数列j的通项公式.标准模型：an+i=
4、kan+p(A,p为常数，kpO)或。林=ka,+p(%,P为常数，kpO)类型2：用“同除法”构造等差数列(1)形如册x=g%+pM(N*),可通过两边同除夕向，将它转化为驾=+P,从而构造数列2qqM.为等差数列，先求出与的通项，便可求得2的通项公式.q(2)形如。川二履+4向5N*),可通过两边同除夕川，将它转化为智=3+1,换元令：=,qqqq则原式化为：+=+h先利用构造法类型1求出2,再求出见的通项公式.(3)形如册-4+=m+s(AwO)的数列，可通过两边同除以/+1%,变形为i-=-无的形式，从而构0M+lan造出新的等差数列I-L,先求出I-L1的通项，便可求得。的通项公式.
5、知识点五：倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型I：形如品讨=，(PM为常数，PqM)的数列，通过两边取“倒”，变形为一=+,patl+q册+1册q即：从而构造出新的等差数列-,先求出的通项，即可求得乐.册+lanql%J%JkanC类型2：形如+=(p，q为常数，po,o,k0)的数列，通过两边取“倒”，变形为pa/q=7,可通过换元：2=工，化简为:“+g(此类型符构造法类型1：用“待定4+k册kankk系数法”构造等比数列：形如4+=k%+p(%,p为常数，O)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为%+)?=%(4+M(其中：，=),由此构造出新的等比数列册+,先求出%+”的通项，从而
6、求出数列牝的通项公式.)知识点六：隔项等差数列已知数列q,满足4+1+%=/()(1)，则氏+2+”+1=/(+1)(2)；+“”7=/(-1)(3)(2)-(),an+2-an=d(其中。为常数)；或(1)一(3):。向一/_=或之2)则称数列凡为隔项等差数列，其中：4,4，牝，的构成以q为首项的等差数列，公差为d；。2，%，。6，。8构成以。2为首项的等差数列，公差为d；知识点七：隔项等比数列已知数列4,满足%=/(),则an+2&+1=/(+D(2)；/,勺-1=/(-D(3)=Q(其中夕为常数)；或襄：%tk=q52)则称数列SJ为隔项等比数列，其中：构成以为首项的等比数列，公比为夕;
7、。2，。4，。6，。厂一构成以。2为首项的等比数列，公比为夕；二、题型精讲题型OlS.法(用SI，得到%)1.(多选)(2023秋吉林长春高三校考阶段练习)设S”为数列%的前项和，已知q=3,Pm,eN,Snt+n=SmSrf,则（）B. q=54D. S,= 3A.,是等比数列C.%+4+%+%+%=38【答案】BD【详解】因为=3,9，eN,Si=SfnSf,所以Sfl+=S11S1=SM=3Sn,又S=3,所以Szt是首项为3,公比为3的等比数列，所以S“=3，故D正确;当2时，=S-ST=3-3-=23-,当=1时，6=3,不满足上式，所以勺=/；,故A错误；3,w=1因为%=2x3=
8、54,故B正确;因为+6+。7+8+。9=SgS4=3。-343,，故C错误.故选：BD.2 .（2023秋上海普陀高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知数列4的前项和S“=3”+2,4的通项公式为.【答案】an=5, = 12-3n-n2【详解】当”=1时，q=S=3+2=5,当2时，=S一=3+2-3n1-2=23n,q=5不适介上式,故血的通项公式为为5, = 123-,w2 故答案为：4” =5, = 123-1,m23 .（2023秋,上海徐汇高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列4的前项和邑=（-2）2+4,N.若是等差数列，则血的通项公式为【答案】a-4n+3【详解】由S
9、”=(-2)/+。知,当=1时，1=S1=2-1；当2时，见=S“一Bi=2(2)+(3a),此时，当=2时，a2=4(t-2)+(3-)=3tz-5,当z2时，anl-an=2(a-2),a2-a=3a-5-(2a-)=a-4t若数列4是等差数列，则2(。-2)=。-4,所以。=0,则alJ=-4+3.故答案为：氏=-4,z+3.4 .(2023秋甘肃庆阳高二校考阶段练习)已知各项均为正数的数列4的前项和为邑，且U+%=2S.求数列4的通项公式；若数列也满足，b=0,btt=一!(2,Z),求数列4的前项和7；.an-*an+【答案】见=T-,n42L11w+1J【详解】由Y+4=2S“得总
10、+*=2S故两式相减可得：*+%-&+4)=况,耳，化简得4:-。:=用+4，由于凡各项均为正数，所以。川+%0,故。川-勺=1(常数)，又当=1时，=2S=2%,由于q0,故=l,LrJL_i(-I)(w+1) 2 -1 +1 ；所以数列%是以1为首项，1为公差的等差数列；(2)由(1)得：“2时，b“=!an-an所以当 2时,0+4+LLLL+.-_L4232435n-3n-1n-2nn-1n+11w+ 1耳+!_L=2-!J22nn+42当 = 1,1=0也彳.5 .(2023秋福建厦门高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习)已知各项为正的数列/的前项和为S.，满足S”=；(%+1)2.
11、求数列/的通项公式；若数列满足也,bi=alfb2=a2+a3,bi=ai+as+a6t=%+%+%+即)，.，依此类推，求4的通项公式.【答案】=2-1(2)【详解】(1)因为S.=；m+1)2，所以S1=?e+1)2一两得。向=；(。川+1)2-：(勺+1)2,即(6+q,)(q+氏一2)=0,又因%0,所以凡+1-凡=2；当=1时S=%=；(%+I)2,解得4=1,所以%二2-1(2)设数列q的前项和为S，数列4的前项和为人a为叫中的项之和，*为血中的前口孚项和.p127,(1+)(一,当2时，=、L一、L=/，4=q=lbltni.6.(2023湖北黄冈黄冈中学校考三模)已知正项数列/
12、的前项和为S,且4S.=a；+2q-3(CZ).求数列4的通项公式；将数列%和数列2中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列,求的前100项和.【答案】4=2+leN(2)9089【详解】(1)依题意%0,当”=1时，解得4=3,45.1, d+2%-3,当2时，有4S.=d+2%-3,作差得：(4+an-)(a一4-2)=0,(2),.%+%0，吗-%=2(2),数列%是首项为3,公差为2的等差数列，.an=2/7+1,wN*.(2)由(1)得,aloo=2Ol,X2720127,93x(%+3)2仅-1)=J-见。L=9089-22-1所以4的前100项和为9089.题型02S法(
13、将题意中的凡用S5一替换)1. (多选)(2023辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测)已知数列/的前项和为BI(S“=0),且满足勺+4SZS.=0(2),l=i,则下列说法正确的是()A.数列凡的前项和为S“=4B.数列q的通项公式为勺=丽而C.数列%不是递增数列D.数列,(为递增数列【答案】CD【详解】4+4SiS.=0(“2),则S.-Szjt+4SLR=0(22),即Om3,nn-故1是首项为4,公差为4的等差数列，故=4，即S”=，-,IAJSn4a=-4SlS=-4!X=-!-(2,a.=nI4/7-444(-1)4对选项A：S”=；,错误；卜=1对选项B：%=1,错误；/7(之2)4(-1)对选项c：1=I%=-)，故数列4不是递增数列，正确；4O对选项D：y=411,故数列;9为递增数列，正确；故选：CD.2. (2023全国高
