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1、第5-6章统计量及其抽样分布5.1 正态分布5.1.1 定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。概率密度曲线图例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：3高、体重、肺活量等某一条件下产品的质量如果随机变量X的概率密度为一(%从)2202,-gX是是随机变量X的标准差5.1.2正态密度函数f(x的一些特点：/(X)0,即整个概率密度曲线都在X轴的上方。f(X)x=X=P曲线，相对于XP对称，并在处达到最大值,越小，曲线越陡峭当趋于无穷时，曲线以,轴为其渐近线。标准正态分布N = O, O =时,-SXgN(U)称为标准正态分布。标准正态分布的
2、概率密度函数：标准正态分布的分布函数：任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布X5)z=X-四：N(OJ)变量XM/012)与变量V.NQ2)相互独立，则有X+y：N(四十日,O2+O2)1212RmW允布表j三幻情态分布的概率值X：N(M)例：设/,求以下概率P(X1.5)P(X)2)P(TX3)(3)P(X2)(4)解：P(X2)=1-P(X2)=1一(2)=10.9773=0.0227(4)P(-1X3)=P(X3)-P(X一1)=一(一1)=一(1一(D)=0.9987(10.8413)=0.84P(X2)=P(2XV2尸一(一2)二(2)一(1一)二2一I=0.9545X
3、:ND则有PaX人尸S)(Q)尸(X)=21X:M53)例设，求以下概率P(XV10)(1)P(2X10)P(2X8)(3)(4)6)P(X59)解：由Mb,(1)P(X10)=P(Xl二)=P(X1.67)=jL67XOtZr二(L67)=0.9522,H25X5105P(2X10)=Per)X5=P(-11.67)(3)P(2X8)=P(2-5二85)=P(T1)=2(l)-l=2x0.8413-1=0.6826X-56P俨-56)=P(!J2)=2-1=2x0.9772-1=0.9544ISP(X-59)=Q(Ix：3)3=2-1=2x0.9987-1=0.9974乂：口日，。?)一般，
4、若，则有P(aXb尸(/TN)-(如i)oo5.1.43准则若XN(0,1),则有P(XVl)=2(l)-l=0.6826P(X2)=2(2)-l=0.9545P(X3)=20(3)-1=0.9973即，X的取值几乎全部集中在k3,3_区间内，超出这个范围的可能不到3%X:N(NO)至一般正态总体，即，有P(X-日0)=0.6826P(XN2o)=0.9545P(X-N3c)显的概率很小，因此可以认为X的值几乎一定落在区(N-30,N+30)间内一一统计学的“3。准则”5.1.5正态分布函数的一个重要性质X:N(N-2)Y-NIN2设变量1，2,2vX与Y相互独立，则有X+y：N(N+N,O2
5、+C2)1212X-Y:N(N-N,02+。2)12125.1 6求分位数X:N(M)设P(XZ)=j(x)dx=aa7a0 025a-a常用的几个Z分位数：0.05Z=-1.64,Z=-1.965.2 由正态分布导出的几个重要分布Z2,LF三大分布：分布Z25.2.1 分布,X相互独立,则它们的平方和服从自由度为XX1定义：设随机变量12lX：N=1,2,L,n)的分布。工Xl：z2(/7)记做，i2,2分布的密度函数图形图形特点:(I)X分布的变量值始终为正。X2(2) 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，随着自由度的增大逐渐趋于对称。X2E2D(Z2)=2/7(3)
6、 分布的期望为-n,方差为S为自由度)。(4) 分布具有可加性。若X与厂是相互独立的随机变量，-X2(m),Y-2(n2)f则它2X们的和服从于自由度为7+2的分布，即X+V%2(n+)3分余临界值表的使用，求得分布的分位数22XaX分布临界值表中给出的是概率为时，a的取值，k是自由度。P(X2X2)=J+8f(X)dx=ao例如，若随机变量X：(则查表可得X2O.O5(l)二3%20.95(1)=18.3075.2.2t分布(student分布)X、设随机变量互相独立，,则随机变量X-N(OAYS)自由度为的分布t分布概率密度函数图特点：关于y轴对称，与标准正态分布的密度函数的图像非常相似。
7、厚尾：当IXlT9时,t分布的密度函数趋于O的速度要比标准正态分布密度函数慢，所以t分布的密度函数的尾部要比N(,l)密度的尾部厚些。当自由度无限增大时，1分布将趋近于标准正态分布。(所以，当很大时，1分布可以用标准正态分布近似。记乙为分t(Z)a布的分位数。在实际使用中，当3。就近似有(a(11)Zo由于t分布密度曲线的对称性，可t(n)=-1(n)1a例如，若随机变量T：15查表可得，m.05O,”15)r15)r76531而0.950.05f(40)=1.6839Z(45)=1.67940.05,0.05Z=1.645可见随着自由度的增大，E分位数与Z分位数越来越接近。5.2.3F分布设
8、随机变量工与,相互独立且分别服从自由度为和的分布。x/mn则随机变量E=服从第一自由度为第二自由度为的尸分布。F:F(m,)记为产分布的概率密度函数的图F:F(m,n)设随机变量F(m,n)F(m,ri)aa表示分布的分位数,a可以证明,.Fa(m,11)=nm1a例如查表得A(8,9)=3.23,F(9,8)=,1、.二0.31则o.o5F-(879)37230.955.6小概率原理指发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎不可能出现。6.1统计量定义：设XiXlLXn是从总体X中抽取的容量为的一个样本，如果由此样本构造一个不依赖于任何未知参数的函数丁(XX2LXJ,则称函数T(XiX2lXJ
9、是一个统计量。特点：由样本构造而得，是样本的函数不含任何未知的参数当获得样本的一组具体观测值（J2,，带入，计算出12n的数值，称为统计量的值X,Sz常用的统计量6.2抽样分布抽样分布：统计量的分布随机变量XX1,X2,L,xX-%,L,X*X,X,L,XLxmm2XmnX-m精确分布：可以得到分布的数学表达式渐近分布：难以得到精确分布时，借助于极限工具，求得抽样分布的近似分布,称为渐近分布。定理1:设(X,X,L，Xa）是取自总体X的一个样本，记X）D(X)=nn1E(S2)=。2时，IimP(X曰8)=1nfg当fg时S2if0S2-P-fo2n定理2：设P/,)O2X:N(曰,)E(S2
10、)=o/是取自正态总体N（,O的一个样本一一一:M。/）或等价地。Iyn2）(1)S2HSLn一X,s2,.、辱与相互独有r(X-X)2i：X2(/71)O2推论1：设X1,X2,L,x是取自正态总体N(口,。2)的一个样本，那么s/心简要证明：XRX:Na02尸3：四)(771)52：X2(1)O2XRn0:t(n-1)Tn1)S2/(Al-I)ol-独立G分布的定义):t(n1)推论2(X,X,LX)N(R,02)设12m是取自正态总体11的一个样本,(KKL,Y)N(R,O2),三n是取自正态总体22的一个样本，X与厂相互独立，那么(Xy)一(修:N(M)JO20212mnr简要证明：X :N ( H , 02)VO2 N mn(7-1)S2+(77-1)S21-2(7+n-2)()-(M-M)rl2即S_-F7：t(m+-2)_PJmn推论4：设(x,X2,L,xm)是取自正态总体MMl,%2)的一个样本,YYl ,丫)是取自正态总体N(M2,2)的一个样本,X与y相互独立，那么Snm-11 2： I2(m-l) 11y： (i)252E Si ：2W) 02 2(ZZr)T/ ( In-I)O2n i ( -k 1) s 2 i 7 2 /(77 -1)O 22S2/O2sW222 非正态总体的情形V、-1)F(m-15n-1
