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1、重难点06圆锥曲线中的定点、定值问题【题型归纳目录】题型一：面积、弦长定值题型二：数量积定值题型三：斜率和定值题型四：斜率积定值题型五：斜率比定值题型六：线段定值题型七：斜率和过定点题型八：斜率积过定点题型九：角度相等过定点题型十：垂直过定点题型十一：弦中点过定点题型十二：数量积过定点题型十三：线段比过定点题型十四：向量相等过定点题型十五：坐标定值题型十六：斜率定值【方法技巧与总结】1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量一函数一定值”，具体操作程序如下：（1）变量选择适当的量为变量.（2）函数把要证明为定值的量表示成变量的函数.（3）定值化简得到
2、的函数解析式，消去变量得到定值.2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.常用消参方法：等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系尸色,m）=0,用一个参数表示另外一个参数左=/佃），即可带用其他式子，消去参数4.分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值.因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉.参数无关消参：当与参数相关的因式为O时，此时与参数的取值没什么关系，比如：y-2+kg（x）=0t只要因式g（x）=O,就和参数没什么关系了，或
3、者说参数人不起作用.3、求解直线过定点问题常用方法如下，（1）“特殊探路，一般证明“：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点（%,%）,常利用直线的点斜式方程y-%=4（-o）或截距式y=h+b来证明.一般解题步骤：斜截式设直线方程：y=kxm,此时引入了两个参数，需要消掉一个.找关系：找到人和?的关系：?=/（幻，等式带入消参，消掉参数无关找定点：找到和人没有关系的点.【典
4、型例题】题型一*面积、弦长定值例1.（2023福建厦门高二统考期末）已知点N在曲线ug+4=l上，O为坐标原点，若点A/满足o6ON=y2OM,记动点M的轨迹为.求的方程；已知点P在曲线C上，点A,8在曲线上，若四边形O4P3为平行四边形，则其面积是否为定值?若是,求出定值；若不是，说明理由【解析】（1）设（xj）,N（x,v,yJ,因为点N在曲线C:：+!=l上，OO所以与=1,o6因为丽=两，所以卜v=f）代入L=I可得（8）+的）=1,yN=2y8686即+或=1,即的方程为+以=1；4343（2）设N（XQJ,8（%2,必），P（XO,九），因为点P在曲线C上，所以总+区=1,86因为
5、四边形。尸8为平行四边形，所以加=忘+砺，所以（XOJo）=&+移乂+3），所以8+覆）+（凹+为=,又立+K.=、K+K=1,864343所以华+华=0,43因为和吟+f+T2所以（X仍-乂占了=12,直线。/：MX-Xly=O,点8到直线。力的距离d所以平行四边形O加归的面积Som=2gg=ICdd=Jl+dJr一，=I4丛_%司=2.J片+M例2.（2023上海上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆：1=l（60）的左焦点为尸，左、右顶点分别为A,B,上顶点为尸.（1）若APFB为直角三角形,求的离心率；若=2,6=1,点。，0是椭圆上不同两点，试判断“归。|二|尸。#是。，。关于J轴对称
6、的什么条件？并说明理由；若。=2,6=退，点T为直线=4上的动点，直线74,T8分别交椭圆于C,Q两点,试问尸CZ）的周长是否为定值？请说明理由.【解析】（1）如图尸(-c,0),P(0,ft),B(,0),PF-(-c,-Z),PB=(,-6),由题意即方=0，ac=b2=a2-c2故C=Le?,解得离心率e=迈二12（2）必要不充分条件.必要性：根据椭圆的对称性可知，当。，O关于y轴对称时，|尸。|二|0。用成立；充分性：椭圆方程为二+/=1,设。(XJ),4?IPQ2=X2+(厂I)2=-3)2-2y+5,在(TI)上不单调,2所以可举反例：分别取必=0,为=-鼠使得P0=P。#=不，但
7、。，。不关于y轴对称.即 0(2,0),。当令(3)由题意，N(-2,0),8(2,0),椭圆方程为EZ1=1,43设（4）,则直线4T的斜率为匚之可=，方程为：y=（+2）,联立椭圆方程得(27+12)x2+4/X+4r-108=0,X+Xc =_4r_27+754-2t2 272代入户（。+2）得1=品54 2/227+ Z218/27 + *)同理直线87的方程为：j=（x-2）,联立椭圆方程得(3+f2)2-4+4-12=0,+=*故XD=，代入y=:(x_2)得%r,1）,梯形/8CDm的四个顶点均在上，且AB/CD.设直线”的方程为V=Ax（AwR）.若48为的长轴，梯形48C。的
8、高为且C在48上的射影为的焦点，求?的值；设次=&,MM=2CO,力。与8C的延长线相交于点M,当上变化时，ZM48的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）梯形46CD的高为;，.”=:，代入椭圆方程得：X；=手，.C在48上的射影为的焦点，.-l=即匚，又/1,.m=2.4（2）当刑=时，椭圆=0+/=；设/(XQJ,6(/,乃),C(%),Q(x4,h),T+r=，W：(1+22)x2-2=0,x1+x2=0,X1X2=.1+2%y=KXQ48CQ,.可设在线。：y=b+E,X22_J(l + 22)x2+4to + 2r2-2 = 0,T+y一得:y=kx+
9、t则A=80+2F-)o,解得：/T+k2J(Xl+x2)-4x1x2c*E卮3F/二.产vJB = 2CD整、皇，即小年点M到直线AB的距离为直线CD与AB间距离的2倍，d=2x/,Jl+3刎T第出需挑受S即2M48的面积为定值.题型二：数量积定值例4.(2023上海静安高二校考期中)己知耳、乃分别为椭圆：+=1的左、右焦点，过6的直线/交椭圆于力、8两点，记原点为O.当直线/垂直于X轴时，求弦长；当方丽=-2时，求直线/的方程；是否存在位于X轴上的定点M(?,0)使得祝话始终为一个定值.若存在，请求出机；不存在，则请说明理由？【解析】(1)由题意知，G(-LO),将-1代入椭圆方程得y=1
10、,33不妨设4-13)，5(-1,-),所以8=3.33（2）由（1）知，当直线，斜率不存在时，不妨设4-14），8（-1,-=）,2233则04=（-1,5）,OB=（-1,-）,95所以O4O3=l-1=-1-2,不符合题意，舍去，44所以直线/的斜率存在，设直线/的方程为：y=%（+D,y=k(x+)/y2=(3+42)x2+Sk2x+42-12=O,1143设Na,乂）,B（X2,当），pilx+x-82h_叱_12人也+”3+4*书-3+4公所以-5k2-23+ 4FOAOB=x1x2+yiy2=xlx2+k2(xl+I)(x2+1)=(1+A:2)x1x2+k2(x1+x2)+k2
11、竺壬（二纥）十公3+4公k3+4）t2解得：公=2,所以A=J，所以直线/的方程为：y=2（+l）.（3）假设必丽是个定值.当直线/的斜率存在时，一8左2,X,+X7=712 3+4公_立2_19由（2）知，x1+y,y2=-12,23+4k2因为M4=(X-也必)，M=(x2-m,y2)f所以MA.MB=(x1-m)(x1-m)+yy1=x1x2+yy2-m(xx+x2)+mSk2-2-Sk2m x,; (丁)+ =3+4k23 + 4k2(-5 + 8m + 4w2)2 + 3-12要使得忘砺是,个定值，则-5+86+4渥=3?2-1243解得：n=-,O135此时A仍=.643?当直线/
12、的斜率不存在时，由(1)知，-1,-)，B(-1,-),则M4=(T-呜)，MB=(-mf-)9所以M8=(m+l)2-,411ns当AM=-一时，MAMB=.864综上，存在m=-二，位于X轴上的定点”(-2,O)使得必.荻是一个定值为一臂.8864例5.(2023山东沂水县第一中学校联考模拟预测)已知椭圆：+=1(60)的左、右焦点分别ab为片、F2,斜率不为0的直线/过点耳，与椭圆交于48两点，当直线/垂直于X轴时，43=3,椭圆的离、士1心率e=.求椭圆M的方程；在X轴上是否存在点尸，使得莎丽为定值？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c(c0)
13、,则：=；,将X=Y代入椭圆方程得：+=l,解得y=公，所以竺1=3,abaa又/=+c2,综合解得：a=2,b=3,c=l,所以椭圆A1的方程为二+己=1.43(2)存在.设 P(m,0),联立方程:A(xl,yl)tB(x2iy2),直线/：X=一1,z+/143一，得(3/+4)/-9=0,x=ny-所以乂+%二号乂必=UPA=(Xl-wty1),PB=(x2-m,y2),/2(32+4)-4(3/+4)+8?+11_28+113/+41+3/+4当8?+II=O,即加=一?时，P/P8为定值一二，所以存在点尸KO）,使得石而为定值.例6.（2023全国高三对口高考）已知（2,2）是抛物线Uy2=2p上一点，经过点（2,0）的直线/与抛物线C交
