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1、目录专题一选填压轴21.1 不等式21.2 函数31.3 数列51.4 解三角形61.5 立体几何7专题二创新题142.1 集合142.2 数列192.3 数表26专题一选填压轴1.1不等式1. （2023海淀一模10）刘老师沿着某公园的环形跑道（周长大于Ikm）按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑Ikm,软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师/共跑了Ukm,恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，/jAra则刘老师总共跑的圈数为?（A.7B.8C.9D.104krari起点【答案】BS【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结
2、合跑回原点的长度建立方程，即可求解.【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为七（XeN*）,1Z22f343则由题意ZI,所以:f4324/5213221133所以：L因为=11，所以彳VX=UV又eN*,所以户8,3t43t4即刘老师总共跑的圈数为8.故选：B72. （2023西城一模10）名学生参加某次测试，测试由，道题组成，若一道题至少有;名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了!小道题，则该生本次测试成绩合格.如果这次测试至少有:名学生成绩合格，且测试中至少有:，道题为难题，那么根的33最小值为A.6B.9C.18D.27【答案】9【解析】设有X个学生合格，y道
3、题为难题，l22贝Jxzr,y-mt2222依题意有X-mmn-ynnmn33332S所以hx二,36同理2my-m,36要使两式有整数解，则m3,“3,所以如z9当m=3m=3时，若3名学生答题情况如下表：题目1题目2题目3学生AX学生BX学生CXX则有2名学生合格，2个难题，符合题意,所以的最小值为9.1.2曲教1. （2023东城一模10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.0
4、01）,可得N的值为M2371113IgM0.3010.4770.8451.0411.114A.13B.14C.I5D.16【答案】C【解析】因为正整数N的70次方是一个83位数，所以1082M0vl（取常用对数得8270lgNV83,即1171IgNv1.186,T0Igl5=lg（3102）=Ig3+lgl-lg20.477+l-0.301=1.1761.171,1.186）,所以N的值为15.2. （2023朝阳一模15）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数X。,均分别为红、蓝两方初始兵力，/为战斗时间；M）y（f）分别为红、蓝
5、两方/时刻的兵力；正实数。力分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；COShX=交姿和SinhX=匚匚分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为一给出下列四个结论：若X0%且4=6,则x(f)y(f)(OWYT)；(2)若X0%且。=6，WJT=-Ina若与2,则红方获得战斗演习胜利；,则红方获得战斗演习胜利.其中所有正确结论的序号是一【答案】【分析】对于根据已知条件利用作差法比较大小即可得出x(f)-)t)=eXo-l)O,所以正确；对于，利用，中结论可得蓝方兵力先为0,即阴了、；、正确；对于和，若要红方获
6、得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为。时所用时间、G,比较大小即可知错误，正确.【详解】对于，若X。)%且所以 Moy(r)=M(x-%),x()=X0cosh(a)-Yqsinh(at)y(r)=cosh(o)-X0Sinh(M由x(,%可得MAy(f)=Xx闻o,即正确;对于，当=b时根据中的结论可知Mr)y(。，所以蓝方兵力先为0.即=X。=。，化简可得e(x。)Q=eF(X+%),即/=，两边同时取对数可得2m=lnf,0-Vx0-i0JX。+ %IxtJ= 麻,所以战斗持续时长为T = Tn唐,所以正确；对于，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可.设红方兵力为O时
7、所用时间为L蓝方兵力为O时所用时间为.即 x(1)= X0 cosh(炳)哂色ASinh(疝J = O,可得e?疝I =又因为X0,%M,力都为正实数，所以可得 o红方获得战斗演习胜利；所以可得错误，4正确.故答案为：(3W).1.3敷列1. (2023朝阳一模Io)已知项数为A(ZeN)的等差数列凡满足：4=1,;%arl(n=2,3,k).若4+/+%=8,则k的最大值是A.14B.15C.16D.17【答案】B13【分析】通过条件6=1,-an.lan(n=2阳，得到d一厂K4女一2再利用条件4+/+4=8得至J16=2k+k(k-)d,进而得到不等关系：1622+M%-l)mr,从而得
8、到女的最大值.3-2【详解】由6=1,%ztq0=2,3,肉，得到l+5-2)d4l+(-1)4，即3+(32)d0,3当=2,3,时，恒有3+(3-2)d0,即3一2由q+/+4=8,得到8=-4+4)=U2+(AT)d,22所以16=2k+A(A-l)d2L+Ar(%-l)-,2eN,A2,3%-2整理得到：3%2-49A320,所以Z15.故选：B2. （2023石景山一模15）项数为左（AN2）的有限数列,的各项均为不小于-1的整数，满足q+%一+4-、+t2+4=0,其中。尸0,给出下列四个结论：若k=2,则生=2；若k=3,则满足条件的数列&有4个；存在4=1的数列“；所有满足条件
9、的数列q中，首项相同.其中所有正确结论的序号是.【答案】2）1.4斛三角形1.（2023丰台一模15）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题.古希腊数学家PaPPUS（约3叱350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于AB两点；取线段AB的三等分点。,；以8为焦点，为顶点作双曲线”.双曲线，与弧AB的交点记为已连接CE,则NBCE=Inacb.3双曲线”的离心率为；若NACB=二，IAel=3应，CE交AB于点、P,贝IJloPI=.2【答案】2；7-33【分析】根据图形关系确定C=为即可求解；利用面积之比W-AC
10、CPsinZACPAp皆丝=-.进而可求出忸h=3J-3,再根据IoPI=I0臼_怛8PBC.CPsinZBCP求解.【详解】由题可得3=dQ8=c,所以C=为，所以双曲线/7的离心率为=2；a，因为NAe8=/,且Hq=忸q=3j,所以IABI=JI8+18=6,又因为/8CE=J/AC8,所以NACP=巴,N8C尸=二，336C-ACCPinACPAPl所以=+=，SWCPiBCCPsinBCP-BP所以IM=两明,因为IM=IAP+WH=(5+I)WPI=6,解得IBPI=3g-3,所以IOpI=Io即忸H=7-36，故答案为：2;7-3J1.5立体几何1. （2023石景山一模10）已
11、知正方体AHa）-A4GA的棱长为2,点尸为正方形所在平面内一动点，给出下列三个命题：若点P总满足PDi1DC1,则动点P的轨迹是一条直线；若点尸到直线8线与到平面。RG的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；若点P到直线DDi的距离与到点C的距离之和为2,则动点P的轨迹是椭圆.其中正确的命题个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C2. (2023丰台一模10)如图，在直三棱柱ABe-AMCl中，ACBC,AC=2lBC=I,AAl=2,点。在棱AC上，点E在棱上，给出下列三个结论：三棱锥E-ABQ的体积的最大值为I；AO+OS的最小值为四+百；点D到直线CIE的距离的最小值为半.其中所有正确结论
12、的个数为A.0B,1C.2D.3【答案】C【分析】根据锥体的体积公式判断I，将将A8C翻折到与矩形AC6A共面时连接AI交AC于点O,此时AQ+D取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.【详解】在直三棱柱ABC-AMC中8g_L平面A8C,对于：因为点E在棱网上网=AAI=2,所以5E0,2,又/_加=”曰5的，又AC上BC、AC=2l4C=1,点。在棱AC上，所以AO0,2,S.w=,DSC=；ADTo12所以8c=38ESAm5.当且仅当。在。点、E在4点时取等号，故正确；对于：如图将二A8C翻折到与矩形A
13、CGA共面时连接A/交AC于点。，此时A。+DB取得最小值，111IC因为AG=CG=2,BC=X,所以BG=3,所以48=弓2+的=如,即AQ+DB的最小值为,故错误；对于：如图建立空间直角坐标系，设OmO,0),0,2,E(O,1,C),c0,2,C1(0,0,2),所以Go=(,0,-2),C1E=(0J,c-2)12则点O到直线GE的距离d=C,d-叩牛=L2+4-7化-2)F1I用JIIgM=b4-.当c=2时d=3+422,2IVlI1、50-当0c2时0(-2)244,丁正广Irr则1-5(c-2J所以当苦芸取最大衅，且2=O时%=M=竽，(c-2)+1JV55即当。在C点E在8点时点O到直线GE的距离的最小值为苧，故正确；故选：C3. (2023海淀一模15)在AABC中，NAcB=90。，AC=BC=2,。是边AC的中点，E是边AB上的动点(不与AB重合)，过点石作AC的平行线交BC于点尸，将5稗沿F折起，点3折起后的位置记为点P,得到四棱锥尸-ACF邑如图所示.给出下列四个结论：AC平面发F；APEC不可能为等腰三角形；存在点E,P,使得以)J_M；当四棱锥P-ACFE的体积最大时,其中所有正确结论的序号是.【答案】(3)【分析】根据线面平行的判断定理，判断；证明.勿C=，瓦c,即可判断；利用垂直
