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1、第4课时直线与平面垂直的性质WI川川川川勿川I卅川川团“川川川川川川川卅川川川川川川儿E30设UU预习教材要点要点一直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线符号语言a1）一b1J图形语言abH-r作用线面垂直=线线平行；作平行线状元随笔(D直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条宜线平行的另一种方法.(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.(3)线面垂直的性质定理可简记为“线面垂直，则线线平行”.要点二点面距、线面距1 .点到平面的距离过一点S向平面4眼作垂线，垂足为4则称垂线段%的长度为点S到平面力欧的距离.2 .直线与
2、平面的距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离.要点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线/与一个平面a,但不与平面则直线/称为平面。的一条斜线.斜足斜线/与平面a的交点力称为斜足./7投影过斜线/上斜足以外的一点尸向平面a作垂线，过垂足。和斜足力的直线力。称为斜线/在平面。上的投影.直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.(2)直线与平面所成的角J的取值范围是状元随笔把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；斜线在平面上的投影是过斜足和垂足的一条直线而
3、不是线段.基础自测1 .思考辨析(正确的画“，”，错误的画“X”)(1)若AL力，且则AL0.()(2)垂直于同一条直线的两平面平行.()(3)如果一条直线上有两点到一平面的距离相等，那么直线不一定与平面平行.()(4)如果一个平面内任意一点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行.()2 .已知比所在的平面为直线AL力氏ILAC,直线/_L8C,mVAC,则不重合的直线7,R的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.不确定3 .棱长为2的正方体ABCD-A1B,CD,中，尸是平面ABCD内一点、,则点尸到平面A,BCD,的距离是()A.1B.2C.3D.44.在正方体力时中，直线力。与平
4、面4所成的角为.题型1直线与平面垂直的性质定理的应用例1如图，已知正方体力比力出(1)求证：ACBDl.业/V分别为笈与G上的点，且掰KLA。，机:LG”,求证：.拗46方法归纳(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直.(2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.跟踪训练1AMB如图所示，在正方体力8曲4笈G”中，必是43上一点，N是4。的中点，JWJ_平面4%求证：V月.题型2有关距离的计算例2己知在长方体力山G中，棱/4=12,AB=5.(1)求点笈到平面48口的距离；求BxG到平面A
5、iBCDi的距离.方法归纳(1)从平面外一点向平面作垂线，该点到垂足间的线段的长度叫作点到平面的距离.求点到平面的距离的关键是作出或找出点到平面的垂线段.(2)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都是直线到平面的距离，求解的基本方法是在直线上任选一点，找出该点到平面的距离，然后根据求点到平面的距离的有关方法求解，即将线面距离转化为点面距离.跟踪训练2正方悻ABCDABGDi,棱长为2,求:直线A1A到平面RBCQ的距离；点4到平面DxDBBx的距离.题型3直线与平面所成的角例3在正方体力SS4AG中,求宜线4C与平面月及笫所成的角的正切值;(2)求直线46与平面BDIXBx所成的角.
6、方法归纳求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的投影，作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算.跟踪训练3在正三棱柱月加HBC中，/8=1,44=2,求直线回与平面ABSA,所成角的正弦值.易错辨析对线面垂直的性质应用不当致误例4己知勿，为异面直线，_L,直线商足1_1_勿，ILntIQa,R,则()A.。且/B. 。_1,且/_1_C. 与相交，且交线与，垂直D. 与相交，且交线与/
7、平行解析：若。,则由几L平面a,，平面,可得而，这与加，是异面直线矛盾，故与后相交.设anB=a,过空间内一点A作m/m,n小m与n,相交，m,与确定的平面为.因为ll.ni,Jnf所以2m,l1n,所以7.因为r_L。，_L,所以卬a,n,_L,所以aLi,aLn,所以a_L.又因为Ra,2,所以，与a不重合.所以/a答案：D易错警示易错原因纠错心得解答本题时，容易忽视时，可由条件推出勿，与勿，为异面直线矛盾，导致错选A.也容易忽视构造辅助平面r，无法利用线面垂直的性质定理证明线线平行，导致错选C.解答此类问题的方法是依据线面垂直的性质逐项作出判断，必要时画出图形，借助图形进行直观的判断.课
8、堂十分钟1 .对于任意的直线/与平面。，在平面。内必有直线勿，使勿与/()A.平行B,相交C.垂直D.互为异面直线2 .如图，在正方体力比ZM归中，若G为阳的中点，则直线力G与侧面BCG合所成角的正弦值是()A-B.333C.匹D.在333 .力8。的三个顶点力，B,C到平面Q的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在的同侧，则力8。的重心到平面。的距离为CnL4 .如图，RLL平面力微CL平面阅9,E,尸分别为80,上的点，且价求证：CF_CEDCBC第4课时直线与平面垂直的性质新知初探课前预习一 三 点行点交 要平要相0 Lo090基础自测1 .答案：(2)(3)(4)2 .解析：Y直线
9、/IlACf且仍11AC=4,平面a,同理直线必L平面a.由线面垂直的性质定理可得l11.答案：C3 .答案：B4 .解析：如图，因为CLL平面所以直线力C与平面4所成的角为No1，因为T是等腰直角三角形，所以Nag45.答案：45题型探究课堂解透例1证明:(1)如图，连接4G. CG_L平面4台G4,台U平面4名G，CG_L笈. 四边形48C是正方形， 4GJ_9.又CC11AlCl=G,1.平面AiCiC,又46t平面4GG：.RDiLAxC.如图，连接氏4,ADi.5G49,四边形/心5为平行四边形，：.C1D/ABi.WlfN-LClD,三J.又,：MN1氏次,阳nBR=凡，助以.平面
10、ABa由知Ac工Bl.同理可得AiCAi.又.3nBD=儿4。L平面小4.:、ACMN.跟踪训练1证明：因为四边形力如4为正方形,所以44_L4又因为微！平面4如4,所以因为4mCD=0,所以月ZAJ_平面4%又因为WVL平面ADC,所以MN/ADx.例2解析：(D如图，过点合作笈氏L46于点由题意知8CJ_平面4力能且8氏:平面44阳，JBCIRE.YBGAiB=B,，笈1_平面ABCR, 线段笈E的长即为所求.在Rt448A中，合历=普=等A1B52+12213 点B1到平面A1BCD1的距离为黑(2),:BxCx/BC,且笈Ga平面4比，%=平面48M，.3G平面48口. 点i到平面Ai
11、BCDi的距离即为所求， 直线8G到平面A1BCD1的距离为黑跟踪训练2解析：(1),“/!平面白幽。， 由_1平面笈旌；， 直线AiA到平面BiBCCi的距离等于线段4区的长，,Y台=2,直线44到平面BXBCG的距离等于2.(2)连接4G,BlDi,BD,4G与台交于点见如图.：AlOil平面DBR,点4到平面IDBB的距离等于线段Ala=y2.例3解析：(1)连接力C,因为宜线/M_L平面40,所以N4。为直线/1C与平面40所成的角，设44=1,则心=L所以tanZG4=y.(2)连接4G交5于0,连接80,在正方形中，6;M,因为仍_L平面4Gu平面4AG几所以阳_L4G,又能nBD
12、=6,所以4G_L平面BDIB,垂足为0.所以N4%为直线/1出与平面9台所成的角，在RtZUj%中，48豺4=/E所以/加%=30,即45与平面四片所成的角为30.B跟踪训练3解析：如图所示，取/B,的中点连接6vD,BD.因为底面/B,C是正三角形，所以CDA,B.因为4_L底面/B,C,所以ALC,D.又加AB=A,所以6v侧面4的A1,所以外是斜线靖在平面力/A1上的投影，NetBD是直线BCr与平面力的A所成的角.等边三角形4B,C的边长为1,C=苧，在Rt的C中，BC=BB2+BC2=5,故直线SC与平面力仍A,所成的角的正弦值为肃_15课堂十分钟1.答案：C2.D1C1B解析：连接班.因为/氏L平面即GG所以N力即是直线力G与侧面BCC8所成角，在Rl?1%中，若AB=a,贝j4G=5a,所以SinAGB=答案：A3 .解析：如图，设4B,C在平面。上的投影分别为，6,C,力a的重心为G,连接CG并延长交仍于点,又设右G在平面上的投影分别为U,G,则炉H,G,r,E,EE=3HA+B=,CC=4,CGGE=tI：1,在直角梯形应CC中可求得GG=32答案：34 .证明：用_1平面力微PC平面86：PAlBD,PC1BD,PCIEF.又处nPC=只，励_L平面必C又EFLA3附AC=。，除L平面胡C,，尸被，号=g.
