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1、5.2导数的运算XXX一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5. 2.1基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：2(1) y=%3；(2) ylog2x.解：(l)y=(%w)=(3) =(log2x)z-.Jxln2例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)=p0(l+5%)t,其中Po为=0时的物价.假定某种商品的Po=I,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？解：根据基本初等函数的导数公式表，有pz(t)=1.05tlnl.05.所以pz(10)=1.051lnl.050.08.所以
2、，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.练习1.求下列函数的导数：y=妥(2)y=VF(3)y=3x(4)y=x(5)y=Iog4X(6)y=IogiX2【答案】(l)y=-4%41/=押(3)y,=3xln3(4)y，=()xIny=总【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；(1)解：因为y=2=工-4,所以y，=Q-4)，=一轨-5；(2)解：因为y=V=，所以y=(艰)=*;(3)解：因为y=3所以=3*ln3;(4)解：因为y=G)x,所以V=G)*ln(5)解：因为y=log4x所以y=高；(6)解：因为y=log产所以V=.=/；422.求下列函数在给
3、定点的导数：(l)y=XS在=3处的导数；(2) y=Inx在=,处的导数；(3) y=sin%在=2花处的导数；(4) y=靖在=。处的导数.【答案】(1)/=405；()=;(3)/(2兀)=1；(4)/(0)=1.【分析】运用求导公式对所给函数进行求导，然后再求所求点的导数值.【详解】(1)因为y=好，所以y,=5%4,所以在=3处的导数为:(3)=5X34=405；因为y=ln%,所以/=；所以在=押的导数为f()=*(3)因为y=sinx,所以y=CoSX，所以在=2r处的导数为尸(2所=cos2=1；(4)因为y=e,所以y=e，所以在X=O处的导数为f(0)=e=1.3 .求余弦
4、曲线y=CoSX在点(,0)处的切线方程.【答案】y=-%+【分析】求导得y=cos的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程.【详解】因为y=cosx,则y=-sinx,可得曲线y=cos%在点,0)处的切线斜率为k=-1,则曲线y=CoSx在点6,0)处的切线方程为y=-%+/,故答案为：y=+4 .求曲线y=/在点(4,2)处的切线方程.【答案】y=5+1【分析】先求导数，然后求出切线的斜率，即可得到切线方程.【详解】解:.=l4=-l=,，,浊E=?1:k=二4所以切线方程为y-2=0-4),即y=%+l5 .2.2导数的四则运算法则例3求下列函数的导数：(1) y=X3-
5、X+3；(2) y=2x+cosx.解：=Q3-x+3y=(/)，-(%)，+，=3x21；(3) y,=(2x+COS%)=(2xy+(CoSXy=2xn2sinx.例4求下列函数的导数：(l)y=x3ex解：y,=(x3ex)z=(x3),ex+x3(ex)z=3x2ex+x3ex.=(智)(2SinXyX2_2sinx(x2)z2x2cosx4%SinX二=2xcosx-4sinx=例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将It水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为COO=篙(80V%V100).求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬
6、时变化率：(1)90%；(2)98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.,(5284CW=(10)_5284,X(100-%)-5284X(100-x)z二(100-x)2_0(100-x)-5284(-1)二(100-X)25284一(100-X)2,(1)因为c(90)=(覃2)2=52.84,所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.(2)因为c(98)=(尉；81=1321，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨.函数/(%)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，c,(98)=25(90).
7、它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.练习1.运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5.1节例2.你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？5.求下列函数的导数：(l)y=2x33x2-4；(2)y=3cosx+2X；(3)y=exlnx试卷第4页，共14页(4) y=(x2+2x)%;(5)y=9，(6)y-tanx【答案】y=6/-6%；(2)y,-3sinx+2xln2；(3)y,exnx+y；(4)y-+3x2；(5)y,=(6)y
8、,=J2yx2zCOS2X【分析】运用导数求导法则直接求导即可得到结果.详解(1)y,=6x26x(5) y,=-3sinx+2xln2(6) y,=exnx+(7) y,=(2x+2)x+1(x2+2x)xz(5) y,=7xlnx ITnXcosxcosx+SinxsinxCOS2X6.求曲线y=%?+：在点(1,4)处的切线方程.【答案】x+y-5=0【分析】先求解出尸。)，然后求解出尸(I)J(I),由此可写出切线的点斜式方程并将其转化为一般式方程.【详解】I因为旷=(幻=2%-晟，所以尸(I)=2-3=-1,/(1)=1+3=4,所以切线方程为：y-4=-(x-l),即为x+y-5=
9、0.5.2.3简单复合函数的导数例6求下列函数的导数：(1)y=(3x+5)3:(3)y=ln(2x-1).解：(1)函数、=(3%+5)3可以看作函数丫=1?和=3%+5的复合函数.根据复合函数的求导法则，有=(u3y(3x+5)z=3u23=9(3x+5)2.(2)函数y=e-05i可以看作函数y=M和=-0.05x+1的复合函数.根据复合函数的求导法则，有y1二几火=(eu)f(-0.05x+Iy=-0.05eu=-O.O5eoosx+1.（3）函数y=ln（2x-1）可以看作函数y=In和=2x-1的复合函数.根据复合函数的求导法则，有y1=几火=（lnu）z（2x-l）r1=2X-u
10、2-Zx-1例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：S）的函数满足关系式y=18sin（与t-.求函数y在=3s时的导数，并解释它的实际意义.解:函数y=18sin（争一可以看作函数y=18sin和II=争一郛复合函数，根据复合函数的求导法则，有=（18SimZy（竽一2=18cosu=i2cs（f-D当C=3时，y,t=12cosC）=0.它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为Omms练习7.求下列函数的导数：(3)y=Iog2(2x+1)(4)y=cos：(5)y=sin(y-3x)(6)y=22x-1【答案】(l)y=-3(3%+l)V(2)y,=-6(
11、1-2x)2(3)y,=-AZ(2x+)ln2(4)y,=-jsin三(5)y=3sin3x(6)y,=4xln4【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得;(1)解：因为y=2(3%+1)4，所以/=2(3x+1)m=-3(3%+1)号(2)解：因为y=(l-2x)3,所以:/=(1-2乃3=-6(1-2%)2(3)解：因为y=IogzQx+1)，所以(=log2(2x+l)r=岛莅(4)解：因为y=cosj所以y=(cos3)=-；Siw(5)解：因为y=sin(y-3x)=-cos3x,所以y=(-cos3x)z=3sin3x(6)解：因为y=22*-1=4*一1
12、,所以/=(4*-1)=4Y48 .求下列函数在给定点的导数：(l)y=e-2*在=:处的导数；(2) y=ln(5x+2)在X=1处的导数.【答案】(1)-2e2;(2)【分析】(1)先根据复合函数的求导法则求解出y=e-2的导函数y，然后将X=T代入导函数计算出结果即可；(2)先根据复合函数的求导法则求解出y=ln(5x+2)的导函数然后将=1代入导函数计算出结果即可.【详解】(1)因为y=e-2*-可以看作函数y=e和=一2%-1的复合函数，所以为，=%,-ux,=(eu)f(-2x-iy=-2eu=-2e-2x-1,所以当=泄，yx=-2e-2；(2)因为y=ln(5x+2)可以看作函
13、数y=In和=5x+2的复合函数，所以%=%,ux=(Ina)(5%+2)=：=嘉，所以当=1时，%=*9 .求曲线y=、3x一1在点6,1)处的切线方程.【答案】y=%+g【分析】求出曲线y=反二T在点住,1)处的切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】设y=fM=(3x-l)t则/G)=3(3x-1)4=(3x-1)4,则/仔)=1,因此，曲线y=反二！在点gl)处的切线方程为y-l=%即y=%+/习题：5.210 .求下列函数的导数；(l)y=2x3-3x25(2)y=-+PXX+1(3)y=2x+log2x(4)y=xnex(5)y=JSinxSinx【答案】(l)y=6x
14、2-6x(2)y,=-2x-2-4(x+l)(3)y=2xn2+-7“xln2(4)y=nxn1ex+xnex(5)y3x2sinx-cosx(x3-l)-sin2x-(6)yl+sin2x【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；(1)解：因为y=2炉3/+5,所以y=62-6%;(2)解：因为y=j+.=2%+4(%+l)T,所以y=-2%-2-4(%+1)-2；(3)解：因为y=2*+log2,所以y=2ln2+-；%；(4)解：因为y=%ne”,yz=(xnyex+xn(exy=nxn1ex+xnex;解：因为y=窸，所以y(Sinx)2sin2x(3-)sinX-(SinX)U1)_3/SinX-COSX(X3-1)(6)解:因为y=sinxsinx+cosx(sinx)z(sinx+cosx)-(sin
