专题02空间向量研究距离、夹角问题(考点清单)(解析版).docx

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1、专题02空间向量研究距离、夹角问题(考点串讲)目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练3考点清单01点到平面距离4【考试题型1】利用空间向量求点面距4【考试题型2】利用等体积法求点面距8考点清单02异面直线所成角12【考试题型11异面直线所成角12【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围16【考试题型3】已知线线角求参数19考点清单03直线与平面所成角21【考试题型1】直线与平面所成角(定值)21【考试题型2】直线与平面所成角(最值或范围)25【考试题型31直线与平面所成角(探索性问题)31考点清单04两个平面所成角36【考试题型1】两个平面所成角(定值)36【考试题型2】两个平面所

2、成角(最值或范围)41【考试题型3】两个平面所成角(探索性问题)49一、思维导图二、知识回归知识点Oh点到平面的距离如图,已知平面。的法向量为,/4是平面内的定点,P是平面。外一点.过点P作平面的垂线/,交平面a于点。,则是直线/的方向向量,且点P到平面a的距离就是AP在直线/上的投影向量QP的长度.PQ=|AP=I=Pnnn知识点02:用向量运算求两条直线所成角已知。,人为两异面直线,A,C与B,。分别是。,上的任意两点,。,b为所成的角为夕,则ACBDaCBDcos=cos=cos=j-.IACIlBOlIACH8。y知识点03:用向量运算求直线与平面所成角设直线/的方向向量为,平面a的法

3、向量为,直线与平面所成的角为。,CI与U的角为少,则有COS0=猿彳Sine=Icose=上曲.(注意此公式中最后的形式是:Sine)知识点0%用向量运算求平面与平面的夹角若R4_La于A,PB工0于B,平面交/于E,则NAEB为二面角。一/一夕的平面角,ZAE8+ZAP8=180.若4%分别为面。,夕的法向量cosed/=/L工COSe根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;I1Il2I若二面角为锐二面角(取正),则COSe=ICOS1;若二面角为顿二面角(取负),则COSe=-ICoSVnI,%|;三、典型例题讲与练考点清单Ol点到平面距离【考试题型1利用空间向量求点面距【典例1】(20

4、23上广东佛山高二华南师大附中南海实验高中校考期中)如图,正方体ABcd-ABCA的棱长为2,E为线段。的中点,尸为线段B瓦的中点,则直线FG到平面ABIE的距离为.【详解】AE/G,尸GU平面ABE,AEU平面AqE,.FC1/ABiE,所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点G到平面AB1E的Ef漓,如图以O为坐标原点,DA所在直线为X轴,OC所在直线为y轴,OR所在直线为Z轴,建立坐标系,则A(2,0,0),4(2,2,2),G(0,2,2),打0,0),尸(221),F=(-2,0,l),AE=(-2,0,1),AB1=(0,2,2),ClBt=(2,0,0),设平面ABlE的法向量=

5、(x,y,z)fi-AE=-2x+z=0n-ABl=2y+2z=0另z=2,则7=(1,-2,2),设点G到平面AqE的距离为d,故答案为:g【典例2】(2023上四川绵阳高二绵阳中学校考阶段练习)已知正三棱柱48C-AUG的所有棱长均为2,。为线段CG上的动点,则A到平面AiBD的最大距离为.【答案】2【详解】取BC的中点E,连接AE,因为三棱柱ABC-AqG为正三棱柱,所以AE_L8C,AAJ平面A8C,因为AEU平面ABC,所以A1LAE,所以以A为原点,AE所在的直线为轴,AA所在的直线为Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为正三棱柱ABC-AlMG的所有棱长均为2,所以A(0,0,

6、0),8(1,5,0),C(T,I),A(0,0,2),设。=W(OKm2),则0(1,后,,所以A8=(1,3,0),B=(l,3,-2),BD=(-2,0w),当机=O时,BD=(-2,0,0),设平面A8。的法向量为=(,y,z),则nA.B=x+3y-2z=0_/-,令z=L则=0,2,,nBD=-Ix=H7设A到平面4/。的距离为,则JA823221d=l-l=,n4+37当TMWO时,设平面ASD的法向量为百=(,b,c),则nAiB=a+3b-2c=0(4-m2、_.令=l,则=I,一,BD=-2a+me=0kj3mf11)设A到平面4/。的距离为“,则4-ndAB1+-Wp三4

7、V3trr43m2+16-8/?i+w2+12JmT)2+6,所以当机=1时,d取得最大值专=应,所以A到平面AB。的最大距离为,故答案为:近【专训11】(2023上广东深圳高二校考阶段练习)在三棱锥尸-ABC中,PC,底面ABC,/8AC=90,AB=AC=4,/PBC=45,则点C到平面BAB的距离是.【答案】633【详解】解:建立如图所示的空间直角坐标系,A则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),p(0,4,4),所以AP=(0,4,42),=(4,0,0),PC=(0,0,-4).设平面RAB的一个法向量为Z=(X,乂z),mAP = O, 则z = 0, 4x = 0

8、,46令Y=叵,则z=T,所以加=仅,应,一1),pC-m所以点C到平面PAB的距离为d=Lrr-网3故答案为:还3【专训l2*2023上安徽高二合肥一中校联考阶段练习)如图,四棱锥P-ABCD中,平面PBC/平面ABCD,底面ABCO是边长为2的正方形,二PBC是等边三角形,M,N分别为A8和PC的中点,则平面OMN上任意点到底面ABC。中心距离的最小值为.连接AC,8。相交于点0,。点为底面ABCZ)的中心,取5C中点为E,连接EaEP,则EP_LBC,因为平面尸8C上平面48CD,则EP/平面ABCO,以点E为原点,分别以EaEaE户为XMZ轴正半轴,建立如图所示空间百角坐标系,且底面4

9、8C。边长为2,PBC是等边三角形,则。(2J0),M(l,TO),C(OJO),P(0,0网,则 N3,0(1,0,0),则 MN= -1,-,DN-2,总,O。= (IJO),设平面OMN的法向量为=(乐y, Z),、33n MN = -x + -y + X- Z = O2 2r,解得,-13DN = -2xy + z = 022X = -2y1- ,取 z = 7 ,则 y = -3 , 3z = -Jyx=23,所以=仅有,-6,7),旦平面力MN上任意一点到底面ABa)中心距离的最小值即为点。到平面DnJ33DMN的距离,则d=jj=-j=-64o故答案为:立8【考试题型2利用等体积

10、法求点面距【解题方法】等体积法【典例1】(2023上上海高二校考期中)已知三棱锥P-ABCPA=P8=l,PC=2,且RtPB、PC两两垂直,则点P到平面ABC的距禽为.【答案】吸加【详解】设点P到平面ABC的距离为d因为PA、PB、PC两两垂直,且尸A=P8=1,PC=近,所以A5=,AC=3,BC=BS么Zi=IXIxl=;,在JIBC中,CoSC=罢乎=|,所以SinC=Mly=岑所以XSinC=x冷=4所以VP-ABC=VA-PBC=;X与h=O应解得:h=叵.5故答案为:叵5【典例2】(2023上山西大同高二统考期中)在长方体ABez)中,DA=2D4=2OC=2,E,尸分别是棱AB

11、,CG上的动点(不含端点),且AE=b,则三棱锥4-0防体积的取值范围是.【答案】罟【详解】法一:以。为原点,分别以亶线以DCDA为苍Mz轴建立空间直角坐标系)一%.如图所示,设 E( 1,办 O) (O V m ,I= 2(z-z+l)设ADEF中的EF边上的高为h ,则h = J DE |2-rm l 2nr +m+2S DEF =婀力 KM?- + J病+m + l Iyjm4 +m2 +1 所以匕W)M诋d = /(0 2 1),所以三棱锥A - DEF的体积的取值范围是故答案为:法二:设4E = CF = x(0x-ABC=vA-BCD,所以gSmbc=SabcdAD,所以力=S A0BC2故答案沏呼【专训l2(2023上重庆九龙坡高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习)如图,在直三棱柱ABC-ABG中,AAi=AB=AC=BC=21点。是AC的中点,则点用到平面A8O的距离是.AB=BC=AC=I,.ABC是等边三角形,又。是AC中点,所以BOJ.AC,因为三棱柱ABC-A妫G是直三棱柱,所以AA_L平面ABC,可得AAI8。,又AA,Ae是平面AACG

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