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1、专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题考点预测(1) (x,y,zj,b=(x2,y2,z2),则rI(1)a+h=(xi+X2,yl+y2l+Z2).X*(2) a-b=&-赴，M-必，-z2)(3) /a=(/x1,/JpZzl).r1(4) ac!bxix2+j,y2+z1z2.(5)若功为非零向量，则之bfab-0?x1x2J1y2+zlz2=0.(6)若bI0,则5/?alb?XJ/x2,jl=Iy2tz,=Iz2.(7) a=yfa2aJAf+N；+z；.(8) COSJ=,X，产_：向WM+y；+z：?JR+z；(9) A(xpypz1),B=(x2,y2,z2
2、),则ab=:B=J(-芭一+(力-犷+一/.2.在空间中，取定点O作为基点，那么空间中任意一点R的位置可以用向量OR来表示.向量OR称为iM.niuuu点R的位置向量.3 .空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点A是直线/上一点，向量aUUUirr表示直线/的方向向量，则对于直线/上的任意一点R,有AR=S,这样点A和向量。不仅可以确定直线/的位置，还可以具体表示出直线/上的任意一点.4 .空间中平面4的位置可以由内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O,它们的方向向r1uuur1量分别为,bR为平面上任意一点，存在有序实数对(x,y),使得OR=m+
3、yb,这样点O与向量;，力就确定了平面的位置.5 .直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：IlUUIlIal若A、B是直线/上的任意两点，则A8为直线/的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.平面的法啊量：若向罩：；?所在直线垂直于平面。，则称这个向量垂直于平面。，记作7人。，如果,人。，那么向量叫做平面的法向量.平面的法向量的求法(待定系数法)：建立适当的坐标系.设平面a的法向量为7=(x,y,z).求出平面内两个不共线向量的坐标=(6fj,2,a3),h=SI也也).、rr根据法向量定义建立方程组上?；0.nlb0解方程组，取其中一组解，即得平面。的法向量.(如
4、图)6.用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线44的方向向量分别是：、力，则要证明44，只需证明；，即：二2方/？R）.即：两直线平行或重合=两直线的方向向量共线。线面平行（用一）设直线/的方向向量是，平面的法向量是：，则要证明/4,只需证明打1即拓0.即：直线与平面平行=直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行1111若平面的法向量为“，平面力的法向量为V,要证aZ?,只需证y,即证=/y.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。7 .用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设
5、直线/的方向向量分别是：、1，则要证明4人4，只需证明力，即:?力0.即：两直线垂直O两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线/的方向向量是），平面的法向量是;，则要证明只需证明1111，BPa=Zw.（法二）设直线/的方向向量是0,平面。内的两个相交向量分别为:、;，若、ITIalmOrllIrr,则.alnO即：直线与平面垂直=直线的方向向量与平面的法向量共线=直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为i平面b的法向量为；要证1八人只需证；，即证力?；0.即：两平面垂直=两平面的法向量垂直。例1.（2021.山东.高二阶段练习）如图，已知四棱锥尸-A
6、88,底面是矩形，且尸A_L平面ABCD,E、尸分别是A3、PC的中点.（用向量法解决下列问题）（1）求证：殍1,APAf）共面.（2）求证：EFLAB例2.（2021全国高二课时练习）如图，已知在正方体ABCD-A8G5中，M,N,P分别是AG,BD,8C的中点，利用向量法证明:(1) MN平面CCiDiD;(2)平面MNP平面CGz)ID.例3.(2021北京通州.高二期中)在空间直角坐标系。冲Z中，已知向量45=(1,0,0),AC=(0,2,0),A。=(0,0,3).(1)求向量AB在向量CB上的投影向量；(2)求平面BCO的法向量；(3)求点A到平面BCo的距离.过关测试一、单选题
7、1. (2021四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)空间直角坐标系中，已知A(Tj3),则点A关于XoZ平面的对称点的坐标为()A.(lJ,-3)B.(-1,-1,-3)C.(-1,1,-3)D.(-1,-1,3)2. (2021全国高二课时练习)已知.A5C的三个顶点分别为A(IJO),B(0J,2),C(2,lj),则BC边上中线的长度为()3A.!B.1C.-D.2223. (2021黑龙江哈九中高二期中)设x,ywR,向量a=(x,l,l),6=(l,yl),c=(2,y2),且力入bc贝山+卜()A.22B.C.3D.44. (2021全国高二课时练习)若:=(x,2y-1,-是平面
8、。的一个法向量，且6=(-1,2,1),；=与平面CC都平行，则a等于()27531(953a-豆LMRB-立一米一句c（9271（911、CH?豆LMD卜豆，米一向5. （2021.山东烟台.高二期中）已知空间向量a=（2,-2,T）,6=（3,0,1）,则向量在向量。上的投影向量是（）6. （2021.全国高二课时练习）已知M八寸是空间的一个单位正交基底，若向量，在基底下的坐标为（3,2，1），则它在基底下的坐标为（）.7. （2021福建三明高二期中）已知正方体488-A8GR的棱长为小定点M在棱AA上（但不在端点A,B上），点尸是平面ABC。内的动点，且点P到直线AA的距离与点P到点M
9、的距离的平方差为/,则点P的轨迹所在曲线为（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线8. （2021.辽宁葫芦岛.高二阶段练习）已知正方体ABs-ABCQ的棱长为4,点E是棱CG的中点，动点P在正方形AAIqB内（包括边界）运动，且PA平面BDE,则尸C长度的取值范围为（）二、多选题9. （2021河北石家庄市第十二中学高二期中）在空间直角坐标系Oxyz中，以下结论正确的是（）A.点A（1,3,-4）关于X轴的对称点的坐标为（-1,3,4）B.点尸（-1,2,3）关于XOy平面对称的点的坐标是（一1,2,-3）C.已知点A（-3,1,5）与点B（4,3,1）,则AB的中点坐标是（g,2,3）D.两
10、点M（-l,1,2）,N（1,3,3）间的距离为310. （2021广东佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高二阶段练习）已知点P是平行四边形ABC。所在的平面外一点，如果AB=（2,Ao=（4,2,0）,AP=（T,2,T）,下列结论正确的有（）A.APA.AHBAPI.ADC.AP是平面ABCO的一个法向量D.APBD.(2021.全国高二课时练习)如图，在长方体ABa-AKGR中，AB=6aD=币AA点P为线段AC上的动点，则下列结论正确的是()A.当C=2AP时，B,P1。三点共线B.当APJ时，AP_LAPc.当AC=3A户时，AP平面8。GD.当AC=5,P时，D1P-B
11、C1=-112. (2021全国高二课时练习)如图，在直三棱柱ABC-A4G中，NBAe=90。，AB=AC=AA=2,E,尸分别是BC,AG的中点，。在线段用G上，则下列说法中正确的有()B.若是MC的中点，则比_LFC.若注在平面ABC上的投影向量为则E8C=2D.当cos(8DEr)=M时，线段Bf)的长为述三、填空题13. (2021河北.石家庄市第四中学高二阶段练习)已知点4、氏C、O的坐标分别为(0,l,2),(l,2,3),(l,3,D,(x,5,3),且A,B,C,。四点共面,则X=,14. (2021四川省宜宾市第一中学校高二期中(理)已知空间直角坐标系中三点A(2,1,3)
12、,B(4,2,3),C(3,3,2),则三角形ABC的面积为.15. (2021广东.广州市协和中学高二期中)在如图所示的试验装置中，四边形框架A8C。为正方形，45所为矩形，且BE=3AB=3,且它们所在的平面互相垂直，N为对角线3户上的一个定点，电2FN=BN,活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当MEMN取最小值,IAMI,“时，TTKT的值为IACl16. (2021全国高二课时练习)已知0(0,0,0),A(l,2,3),8(2,1,2),尸(1,1,2),点。在直线OP上运动，当QVQB取最小值时，点。的坐标是四、解答题17. (2021全国高二课时练习)在三棱锥P-ABC中，平面
13、AAB_L平面ABC,PA=PB=CA=CB=30AB=6,。为线段A3的中点，点E,F,Q分别在线段AP,1121AB,AC上，且AE=GAP,AF=彳AO.若尸。=PC,以。为坐标原点建立如图所3333示的空间直角坐标系.(1)求点。的坐标；(2)用向量法证明平面EFQ平面POC.18. (2021全国高二课时练习)已知向量A8=(1J1),AC=(1,2,-1),4)=(3,F1).(1)若AO_LAC,求N的值；(2)若A、B、C、。四点共面，求丁的值.19. （2021全国高二单元测试）如图，在四棱锥P-ABa）中，底面ABC。是矩形，PA_1平EfABCO,M.N、R分别是AB、P
14、C、Cz）的中点，求证：（1）直线A/?/平面尸MC；（2）直线MN_L直线A8（用向量方法）20. （2021福建莆田第七中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AC=3,C=4,AB=5,AA=4,点。是AB的中点.向量法求证：（2）AG平面CO局.21. （2021河北藁城新冀明中学高二阶段练习）如图，在正方体AbCO-A4GA中，E、尸分别是8片，Co的中点，（1）求证：A产-L平面AQ；(2)求向量EReg的夹角.22. (2021山东高二阶段练习)如图，在直四棱柱A8CO-A3GQ中，底面四边形A8C。CFAE为菱形，E,F分别为A,CG的三等分点(7=7i=q).(用向量法解决下列问题)VCJiAJ(1)证明：B,F,D1,E四点共面；(2)若48=4,/840=60。，求点尸到平面的距离.
