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1、医用数学C第一次标准化作业答案一、填空题1.k=n2i2.低(阶无穷小)；3.1；4.1.1.分析则女= ln2；C八JIL1-21一厂2.-X.x-x_t-r.1.2,-x,1.Zx-x2 .分析Iim-r=lm由于Ilm=O,所以hm7=,则hm57=00XToJr-XXTOX-X02-Xx0X-XxJ-X因此，当工0时，2元一炉是2-3的低阶无穷小;3 .分析因为Iimx=O,sin1,所以Iim(XSin,)=O，则Iim(XSinl)=。，NTOXXToXx04XIinY故/(0+0)=lim(l+xsin-)=1+lim(xsin-)=1；又/(0-0)=Iim-=1；xO4Xx0
2、4Xx0X因为/(x)在(-OO,+OO)内连续，所以F(X)在JV=O点连续。从而左=/(0)=/(0+0)=/(O-O)=I,即Z=1。4 .分析因函数/(x)在X=O点可导，且f(0)=0,八0)=1,所以limL0=Iim匕曳=T(O)=Lx0XXToX-O二、选择题5.B；6.D；7.D；8.C；(15 .分析/(l-0)=IimX ( fl9.原式=Iim 1 + -f 21 3；(3+arctan=1,/(1+0)=Iimx2+arctan=1+,XTrIx-12.51-1J2则/(l-0)=(l+0),所以X=I是/(x)的跳跃间断点。故B是正确的。6.分析因为Iim(x +
3、l)88(0r + l)2(2+D45=4,所以极限中分式的分子最高次项为90,其系数为/；极限中分式的分母最高次项为90,其系数为1。Iim(% +1产初+ I)2(x2+ 1)45=4,则 =2。故D是正确的。7 .分析函数/(x)=W在X=O点不可导，但/(X)在X=O点连续，左、右导数均存在，故A、C是错误的;函数F(X)=47在无=0点不可导，但曲线/(幻在(0,0)点有切线，且切线垂直于X轴，故B是错误的；所以D是正确的。1一aCOS18 .分析因为/(X)在X=O点可导,所以r(0)=Iim二/=Iim=-limicos存在,t0x-0t0XX故IimVE=0,因此，I。，即故C
4、是正确的。三、计算题n f1-+ - 5八5.v010 .Iim(x-2)=0,.*.Iim(x3+ax2+b)=0,得8+4+b=0,即。=-4。-8；Hm立加+q=Hm立*4=Hn-23+g2-4)=m3+2+2+4)=12+4=8x-2X2x2X2A?X2XT2、，4=-1,b=-4.11 .由于f(x)在X=O连续，则Iimfa)=Hn1/(%)=f(0)x0x0*Iim/(x)=lim(a+Z?x2)=a=/(0),Iimf(x)-IimSX=,从而得=1,即2a=b。12 .函数间断点为X=0,-2,2,X22x1X，一2x1由于Iim/(x)=Iim5=一一，lim(x)=lim
5、-=-,所以Iim/(x)wIim/(X),Z(T八)D-T(X2_韦2X*7o+x(x2-4)2D-I7D+故X=O为第一类跳跃型间断点：,1.r(r/一2工1.(x-2)x1故工二-2是第二类的无穷型间断点;由Iim/lx)=Iim；=Iim=-Iim=x-2,x-2-x(x-4)-2-x(x-2)(x+2)x-2x+2由Iim/(X)=Iim2=Hm(一2)=Iim=,故x=2是第一类可去间断点。XT2，2(-4)2x(x-2)(+2)2+2413 .设/(X)=f(%)-x,因为X,f(x)在。用上连续,且/()vj(b)b,则F(X)在上连续，且F(a)=f(a)-aOf所以在(。内
6、至少存在一点J,使F=0,即/一=0,亦即，在Q内至少存在一点使g)=J14 .因/(x)在X=I处可导，则/(x)在X=1处连续，故Iim/(x)存在，即Iimf(X)=Iim/(x),而Iinl/(x)=IimX2=1,11mf(x)=lim(0r+b)=a+b,.a-b=(1).rxxl+xrzx1./(x)-0)1.x2-lC/八、1./(x)-(l)1.ax+b-1+ll1.ax-a.f_(I)=Iim=Iim=2,/,(I)=Iim-=Iim由(1)hm=Iima=aXTI-lXf-l-l=v-1r因F(X)在X=I处可导，Z(I)=，从而a=2(2)由(1),(2)得：a=2yb
7、=-。15 .因函数夕(x)在x=4点连续，则Iim0(幻=火。)xaa，、1.U)-(t/)1.(-6Z)(x)-01./、/、所以f(a)=Iim-=Iim=Iim夕(幻=(a。fx-aXTax-aXTo16 .法一将方程两边同时关于X求导：2y-I=(I-y)ln(x-y)+(x-y)七士二(1-y)ln(x-y)+l-y,，2+ln(x-y)cr.,2+ln(x-y),解得y=,所以dy=ydx=dr3+ln(x-y)-3+ln(x-y)法二方程可写为：y=(x-y)ln(x-y)+1对其两边微分：dy=(x-y)ln(x-y)+1；AV)d(x-y)=ln(x-y)+l+(x-y)d
8、(x-y)y=ln(x-y)+2(dx-dy)=ln(x-y)2dx-11n(x-y)+2dy.2+ln(x-y),则有dy=dr3+ln(x-y)医用数学C第二、三次标准化作业(导数的应用自学提纲)答案一、中值定理4.习题：(1)验证函数f(x)=Y在1,2上是否满足grmge中值定理的条件，并求出适合条件的值。解因函数f(x)=/是基本初等函数，故/()=2在其定义域(YO,+8)内连续，则在/。)=炉在1,2上连续；,(x)=2x,则F(X)=在(,2)内可导；令/(2)Al)=re)(21)，即41=2自，则J=(l,2)所以/(x)=/在1,2上是满足Lagrange中值定理条件的，
9、g=万为所求。(2) .设Ovah,证明不等式空qln2j.baa证明令/(x)=InX因函数/(x)=InX是基本初等函数，故f(x)=InX在其定义域(0,+8)内连续，则/(x)=InX在,切上连续；ff(x)=，则/(x)=InX在(4,内可导，X由Lagrange中值定理，有In一Ina=(b-a),即In、，一ci因JvZ?,则一一一，所以0时，arctanx+arctan=.x2证明设/(x)=arctanx+arctan,则/(1)=+!(-)=!7V=O%1+x111X1+x1+x1V故Fa)在(0,+oo)内可导,且尸(X)=0。由Lagmnge中值定理推论，有f(x)=C
10、1取x=l,得/(1)=，所以/(x)=，即arctanx+arctan=022x2二、LHosptial法则3 .习题：解(1)Iim她山=IimI上=Iim上E=IXTFarccot%jmoIXTXX(X+1)+x2(2)jr1XJr1lim(l-x)tanX=IimIimsinx=Iimsi2t7t2COS-X2XTl.sinx22(3)令y=(1-arctan2x)sinx,两边取对数Iny=一&tan2a)sinx2Iimhv=IimIn(I-tan2x)=.iim1-arctan2T.3ATosinxr0cosx则有(4)lim(l-arctan2x)8inx=Iimy=Iimel
11、ny=e,ny=e20x0.v0t0(尤ex-)0x(er-1)xf。et-1+xext*2e+xe=Iim=XTo2+x2(5)设y=arctanxj,两边取对数z、Inarctanx.1(25Iny=xlnarctanx=1/xInarctanx21. 11.).arctanx11+xJ1.1.x2IimIny=Iim=hn=-IimIim=,+X-*1/x2-1/x+xarctanxt三01+x-2则Iim(ZarctanX=Iimy=Iimeln=e加ln=e尸.XfWOI乃JX-KXx(6)设y = (ln)x ,两边取对数 lny = xln(ln-) XIim Iny= Iimx
12、0KT(Flnll-T-=XX1)im InyIim= O ,则有 Iirn(In)*= eXTo In Xio* Xe=l(7)XTO设函数F(X)存在二阶导数，/(0)=0,/(0)=1,/(0)=2。试求Iim丝F；X函数/3)存在二阶导数，则/(%)、(。)均连续，从而/(X)-X也连续.又f(0)=0,WJIimrf(x)-x=/(O)-O=O./(0)=1，(0)=2,于是.r0注意：在计算到“lim(幻_“时，不能在用VHo卯法则.这样做是错误的:2xlimfLl=Llimf)=-fO)=1z。2x22因为/*)在X=O点不知道是否连续，因此无法得到“lim/(X)=/(0)”这
13、样的结果.t0(8)设函数/*)具有二阶连续导数，且Iimd2=0J(0)=4,求Iim(1+马二.v0XXTOX解函数/(X)具有二阶连续导数，则/3)、/*)和/(X)均连续，又Iim盘=。，于是x0X/(O)=Iimy(X)=IimfXIim1+x0I1./()r八小1.-(0)1.f(x)n=lm-lmx=0；z(0)=Iimj7=Iim=O,I.r0Xx00XOx0XaH金IX1MXHm矿a)-)limrvff-ru)XTox2+V(x)2x+/(x)+xf,(x)IimrimfQ)-1rwv02x(x)+V(x)-2+O)+r2+lim四+limf(x)XXTOXx0所以三、单调性9.习题：(1)求函数/(幻=2/一6，一18%一7的单调区间
