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1、人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1 .尸是正四面体ABCD的面ABC内一动点,E为棱AD中点,记DP与平面BCE成角为定值。,若点尸的轨迹为一段抛物线,则tan=（）A28.与C.与D.222 .已知正四棱柱ABCD-AgCQ中,AA1=245,则CO与平面BDG所成角的正弦值等于（）A.-B巫C正D.133333 .如图,在底面为正方形的四棱锥P-A3CQ中,已知BA，平面ABCZ）,且BA=AB.若点M为PO中点,则直线CM与PB所成角的大小为（）PA.60oB.45oC.30oD.90o4 .如图三棱柱ABC-ABCl中
2、,G是棱AA的中点,若BA=a，BC=b，BA=，则CG=（）C15 .如图,在正方体ABCo-A1BGA中,不能互相垂直的两条直线是（）A.A18和AGB.A1B和G。C.CQ和BCD.A/和8G6 .如图,在平行六面体45CD-AHlCQ中，A8+4）_=（）CDBD-DB17 .阅读材料:空间直角坐标系O-斗中,过点P(%,%,z0)且一个法向量为=(,A,C)的平面的方程为a(x-/)+()，-%)+C(Z-z0)=0,阅读上面材料,解决下面问题:已知平面的方程为x-y+2z=l,点Q(3,T,1卜则点。到平面。距离为()A52/6Bc5ZD6102348 .已知三棱锥O-ABC中,点
3、M,N分别为A3。的中点,且OA=aOB=b，OC=C，则NM =()A.g,+c-）B.g（+坂+c）C.g（a-b+c二、多项选择题9 .若=(39-5,4)与=(x,2%,-2)的夹角为钝角,则X的取值可能为()A.lB.2C.3D.410 .已知A,8,C三点不共线,对平面ABC外的任一点。,下列条件中不熊确定点M,A,8,C共面的是()OM=OA+OB+OCOM=IOA-OB-OCCOM=OA+-OB+-OCDOM=-OA+-OB+-OC2333311 .如图,正方体ABC。-AMCQ的棱长为1,正方形ABCo的中心为O,棱Ca,BC的1ROEBC=一2B;=显JAFoE&C.异面直
4、线OA与E尸所成角余弦值为叵6D.点F到直线OA的距离为亚412 .在如图所示的空间直角坐标系中，48CD-AqGA是棱长为1的正方体，则()A.平面ABgA的一个法向量为(0,1,0)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)B.平面BcD的一个法向量为(1,1,1)D.平面A8CQ的一个法向量为(0,1,1)三、填空题13 .己知空间向量)=(2,1,2)*=(1,2,2),则归-。卜.14 .如图,正四棱柱ABC。-ABCQ中,设AD=I,OA=3,点P在线段CG上,且C1P=2PC,则直线AP与平面PBD所成角的正弦值是.15 .如图,在三棱锥0-ABC中，。是BC的中点,若0底=
5、兄，08=。，OC=C，则AD等于16 .如图，平行六面体A8CO-ABGR各条棱长均为1,ZBAA,=ZDAA1=60,ZBAD=90,则线段Aa的长度为.四、解答题17 .如图,在四棱锥尸ABCD中,七为棱AO上一点，pej_A。,丛_LPe四边形BCOE为矩形,且BC=3,PE=BE=AP户=LPC,PAlI平面BEF.4(1)求证:PA_l平面PCQ；(2)求二面角bABO的大小.18 .如图,在平行六面体488-A1BCQ中,N,瓦尸分别是AA/民CQ的中点,侧面DCClDi_L平面ABCz),ZA8g=60o,AZ=4MB=DD1=8,ZBD=120o（1）求证:M7/平面GCE；
6、（2）试求二面角B-M7-C的余弦值.19 .如图,在四棱锥p_A8C。中,平面PW_L平面ABCQ,E为AO的中点、,PA工AD，BECD，BEAD，PA=AE=BE=2，CD=3P（1）求点A到平面PCD的距离；（2）求直线PE与平面P3C所成角的余弦值；（3）在线段PE上是否存在点M,使得OM平面P8C?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.20 .如图,四棱柱A8Cr-A4GR中,M是棱OA上的一点,A41J.平面ABCD,AB/DCABAD=AB=2AD=2DC.（1）若M是。A的中点,证明：平面AWgJ_平面AM与；（2）若。M=2MD,求平面AMB与平面AC与所成锐二面角的
7、余弦值.21 .如图，在四棱锥尸-ABCD中，PA_L平面ABC3,底面ABC。是边长为2的正方形，PA=23,G为Co的中点，E,R是棱尸。上两点（尸在E的上方），且族=2.（1）若8/平面AEG,求）；（2）当点尸到平面AEC的距离取得最大值时，求直线AG与平面AEC所成角的正弦值.22 .如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCo是平行四边形，尸CZ）是边长为2的等边三角形，平面PCZ）_L平面ABCO,AC=PCfAClPC,S为CQ的中点.（1）求证：AC-LCD.（2）若M是PB的中点，求直线与平面ACP所成角的正弦值.参考答案1.答案：B解析：由题意设四面体ABa)的棱长为2,设
8、。为5。的中点，以。为坐标原点,以OA为X轴,以。8为y轴,过。垂直于面ABC的直线为Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则可得。8=0。=1，04=4、2=石，取。4的三等分点6下如图，ABD和A4CD都是等边三角形,E为A。的中点,.BELADCEA.AD,8e0。石=石，.，平面8。2，4。=(芈,0,平为平面BCE的一个法向量,因为。尸与平面BCE所成角为定值0,则6,_2_由题意可得卜+可x2+23x+3J(GX1) +3 +83x2+3y2-2y3x + 9 -忸+39-2 底+ 9因为尸的轨迹为一段抛物线且tan。为定值,则sin 也为定值,段噂十可得W=此时加邛,则I
9、ane =Sine _ 0 cos 2故选:B.2.答案：A解析：建立如图所示空间直角坐标系,不妨设AB = AD = =2则DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2)设平面BDCl的法向量为n=(x,Xz),则“一+)一,令Z=L则y=-2,x=2,所以=(2,-2,l)nDC=y+2z=0设CD与平面BDCl所成角为,则Sine=备纥=2.1+113故选：A.3 .答案：C解析：如图所示：以A为坐标原点,以AB,AO,AP为单位向量建立空间直角坐标系AfZ,设 M = I,则 A(0,0,0),C(IJO),M0,1 lj,P(0,0,l),B(l,0,0),故 P
10、8 = (l,0,7),MC =故f）告1+=73T 2，由异面直线夹角的范围是（。,90。,故直线CM与PB所成角的大小为30。.故选：C.4 .答案：B解析：由已知可得A4,=81-8A=C-，因为G为棱AA的中点,则CG=CA+AG=BA-BC+-AA.=a-b+-(c-a=-a-b+-c212、/22故选:B.5 .答案：C解析：在正方体ABCrA1gGA中,以点。为坐标原点，DAQC,OR所在直线分别为XJ,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,z设该正方体的棱长为1,则A(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A(LO,1),B1(l,l,l),C1(0
11、,lj),D1(0,0,l).对于A选项,AB=(OJT),AG=(Tu),则ABSG=11=0,故ABJAG；对于B选项,)G=(0,l,l),43DC;=11=0,故ABIGO,B对；对于C选项,Cg=(1,0,1),CB1ZX7,=1,故C1D和BC不垂直,C错；对于D选项,G耳=(LO,0),13G4=0,故A8hgG,D对，故选:C.6 .答案：B解析：连接AC、A1C，可得A8+AD=AC，又CG=A41,所以A3+AD-CC=AC-AAi=AC故选:B.7 .答案：A解析:平面的法向量=(1,-1,2%在平面上任取一点A(T(U),则QA=5O)M=耶=今=乎,/76OA正确.8
12、 .答案：D解析：NM=NO+OM=-OC+-OA-OB222=g(f故选：D.9.答案：ABC解析：根据题意,若a=(35,4)与。=(x,2x,-2)共线,则有=X2x2无解,即两个向量不会共线，若=(3x,-5,4)与匕=(犬,2乂-2)的夹角为钝角,必有=3x2-10x-80，解可得：_2”4,分析选项:X=123符合，3故选:ABC.10 .答案：ABC解析：设OM=xOA+yOB+zOC，若点M与点A,B,C共面,则x+y+z=l,逐一检验各选项,可知只有选项D确定点M,A,B,C共面.故选:ABC.11 .答案：ABD解析：故以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.8(
13、1,O),OKoX1,；),C(0,1,0),呜,1,1),R(0,0,1),0石.比=13，；,小.(TO,0)=；,选项A正确；(1V1113OFOE=0,-,1I2人222)43IOF卜440目=*,所以COS(O。=孚，X22根据三角函数两角正余弦关系解得:sin(OF,OE)=半，Sa=；IOFllO啊(OF，。)?冬冬半邛,选项B正确;IOQI卜4,尸卜COS(Oz),EF)=V，选项C错误;X22点尸到直线OQl的距离为:|。F卜inOF,OR),3而InrC八OFODl4330/x70而8S_L平面A8与A，故A正确；CD=(-1,0,0),且(1,1,1)(T,0,0)=Th0,.(1,1,1)不是平面BcZ)的法向量，故B不正确；B1C=(0,1,-1),CD1=(-1,0,1),(1,1,1)(0,1,-1)=0,(l,l,l)(-l,O,l)=O,又BlC,CR=C,.(1,1,1)是平面BCA的一个法向量，故C正确；BC1=(OJJ),且(0,1,l)(0Jl)=2工0,.(0,1,1)不是平面ABCQ的法向量，故D不正确.13 .答案：&解析：因为空间向量)=(2,1,2),=。,2,2),则b-=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),因此卜_a=(-I)2+12+02=
