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1、第1次作业1考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规那么如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，那么每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W12W2do，试计算此博弈的贝叶斯均衡。博弈论第1次作业答案1、a写出以上博弈的战略式描述学勺三B企业1企业2学生A企业111(W1,W2)22(W1,W2)企业2(W2,W1)(2W2,2W1)b求出以上博弈的所有纳什均衡(包括混合策略均衡)存在两个纯战略纳什均衡：分别为(企业1，企业2)，收益为(Wl,W
2、2)。(企业2，企业1)，收益为(W2,W1)O存在一个混合策略均衡：令学生A选择企业1的概率为p，选择企业2的概率为1p；学生B选择企业1的概率为q，选择企业2的概率为1q。当学生A以(p,1P)的概率选择时，学生B选择企业1的期望收益应该与选择企业2的期望收益相等，即：11p. W1(1p)W1p.W2(1p).W2解得：2W1W22W2W1%1PW1W2W1W2同理求出：11q. W1(1q)W1q.W2(1q).W2解得：2W1W22W2W1r. ,和IW2W1W2所以,混合策略纳什均衡为：学生A、B均以(W产m)W1W2W1W2的概率选择企业1，企业2。2、该模型的纳什均衡是什么？当
3、趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？各厂商的利润函数为：UiPqCi(aQ).qic.q(aQc).q(acqk)q求解：nmaxuimax(acqk).qq3k1对其求导，令导数为O，解得反响函数为：1qi2acqq2.qnq1.q纳什均衡(q，q；),必是n条反响函数的交点*1q1*2ac(q2*q3*q*11)q*22ac(qi*q3*q*n)1q*ac(qi*q*2.q；iqii.qn)212i1i1n1q2ac(qi*c2.q*11)得至!J：.*acq1q2nm且为唯一的纳什均衡当趋向于无穷大时博弈分析无效。IImqinIimac效。10，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无3、问这
4、两个厂商的边际本钱各是多少？各自的利润是多少？设：边际本钱不变，为C，C2。计算得市场出清价格为：PP(Q)10OQ10O(qq2)两个厂商的利润函数为：UiP.qC1.q1(PC1).q1100Ci(qq2).q1u2P.q2C2.q2(PC2).q2lC2(q1q2)j.q2求解：maxumax100C1(qq2).q甲qmaxu2max100C2(qq2).q2对其求导，令导数为O，解得反响函数为：qR1(q2)21(100cq2)1q2R2(q1)2(1OOC2q1)纳什均衡(q，)，即(20,30)为两条反响函数的交点120(iq0C130)2130(100C220)得到：Ci30，
5、C220。此时：Ui400，U2900。4、假设所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？设居民i选择的养鸭数目为Di(i1,2,3,4,5)，那么总数为5NFli。i1假设：NN居民的得益函数为：5UiV.11iC.11i(Vc).11i(4811i).11ii1计算：5maximax(4811i).11iuiuii1得到反响函数：111iRi2421(12.11i111i1.05)5、反响函数的交点(n,2*,113*,4*,5*)是博弈的纳什均衡。将(11,n2*,3*,n/,5*)带入反响函数,得：;n42n3nn58。此时：Ui64。此时，N40然后讨论下N假设40那么N
6、N，上述博弈成假设N40，那么Nn555、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？活着-1-11，O死JO，1O，O用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：矩阵1:活着，活着死了，死了可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死，一个死了，那么另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。矩阵2：活着，活着活着，死了死了，活着可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益，个死了，对于另一个来说反而更好。矩阵3:(活着，死了)(死了，活着)可以看出这对夫妻间感情很槽糕。这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。一个死了，对于另一个来说反而更好。2
7、6、如果f(e,e2)3ee2，c(ei)ei(i1,2)，试求此博弈的Nash均衡(即两个个体选择的最优努力程度)。(2)如果f(e,e2)4ee2，c(e)e(i1,2)，试求此博弈的NaSh均衡。(1)收益为：32UI2f(l,2)C(l)2l2vu2322f(1,2)c(2)e1-e22得出反响函数为：31Rl(e2)422 R2(1)341纳什均衡（&,e2）为两条反响函数的交点，代人得出：eO5eO两个人都不会努力的2)收益为:u1=2f(e1,e2)c(e)2e1e2e11U22f(e1,e2)c(e2)2e1e2e2分别求偏导：e1221e22i1一（V）d容一方越努力方就选择努力程度为0，此时,两仝/蛤力程度都与对方的努力程度有关高档/X彳工档此时纳什坦殿（0,0）LN档高才K%和7/111乙2时，双方收益均5最大值，款时纳什均衡为（2,2）1叫时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为1，此时纳什均衡为（1/）第2次作业答案1，1用扩展型表示这一博弈。2这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？运用逆向法，由乙先来选择，在两个子博弈中，乙选择红色所示的路径。再由甲选择，在高档，低档，低档，低档之间选择。甲选择绿色所示路径。最终的子博弈完
