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1、第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y与对数函数y=logd(a0,且互为反函数.I知识诊断基础夯实知识梳理1 .对数的概念如果OA=Nm0，且。Wl),那么数X叫做以。为底N的对数，记作X=IogjV,其中。叫做对数的底数，N叫做真数.2 .对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：*g=N;log,=仇。0,且。21).对数的运算性质如果40且“l,M0,2V0,那么(J)IogMMM=lg
2、M+IogaN; log，W=IogaM-IogJV; IogqM=川OgaMSR).(3)换底公式:Iogab=，段(0,且l,比0,c0,且CW1).10g4，3 .对数函数及其性质(1)概念：函数y=logd30,且Wl)叫做对数函数，其中X是自变量，定义域是(0,+).(2)对数函数的图象与性质aO6Z).y=l,产IogJ性质定义域：(0，+8)值域：R当x=l时，y=0,即过定点(1,0)当x时,y0；当01时，y0:当00在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数4 .反函数指数函数且与对数函数V=IOgaX(0,且l)互为反函数,它们的图象关于直线y三工对称.它们的定义域
3、和值域正好互换.常用结论1 .换底公式的两个重要结论(I)IOg加0,且U;b0,且(2)1OgIOga。0,且aWl；b0;m,nR,且mW0).2 .对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标N:为相应的底数.故OVCVdV1a1时,若IOgHJogfcX,则a0,且Nl)为对数函数，故(2)错误.(4)若O*ll时，logwXlog*,故(4)错误.2.1og29Xlog34+21og510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案D解析原式=21og23X(21og32)+log5(l2o.25)=4+log525=4+2=6.3.(
4、2020全国I卷)设Hog34=2,则4=()ab9c8dI答案B解析法一因为HOg34=2,所以kg34=2,则4。=32=9,所以4一2法二因为log34=2,所以。=高区=2iog43=log432=log49,所以4=4k%9=4%9,=91=.4 .（2021新高考11卷）已知=log52,Z?=logs3,c=,则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacC.acbD.abc答案C解析a=Iog52log55=Iog822log83=b,即ac0,且Wl）的图象恒过的定点是.答案（2,2）解析当x=2时，函数y=log（-l）+2（G0,且。Wl）的值为2,所以图象恒过定点Q,2）.
5、6 .（易错题）已知函数段）=logQj）在区间|,上恒有段）0,则实数。的取值范围是.答案（；，1）alf解析由题意得22X1-l,OVaVl,或3解得IVaVL02ag2W,b=0g5m,则*ii+氤=lg2+log，5=logJ0=2.解得2=而.包(1log3)2+log62log618Z计算：log64=-答案1解析原式=121og3+(log63)2+log6log6(63)log64121ogs3+(IOg(,3)2+1-(IOg63).log642 (1-log63)log661。出3log6221og2-log2-log623 .已知4Zl,若log疝+Iogwz=,ah=b
6、a,则Q=,b=.答案42解析设Iogba=1,则Ql,因为f+:=,所以，=2,则0=从.又4=，所以b2b=bf1f即2b=b29又4bl,解得b=2,4=4.4 .(多选)(2022北京石景山区调研)在通信技术领域中，香农公式C=WIog2(1+筋是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率。取决于信道带宽卬、信道内所传信号的平均功率S、信q道内部的高斯噪声功率N的大小，其中扁叫作信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：Ig50.6990)()A.若不改变信噪比,而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍B.若不改变信道带宽W和信道内所传
7、信号的平均功率S,而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍C.若不改变信道带宽W,而将信噪比扁从255提升至1023,则C增加了25%qD.若不改变信道带宽W,而将信噪比R从999提升至4999,则C大约增加了23.3%答案ACD解析A正确;对于B,因为WlOg20十袍Wlog2l+(Q=2Wlog2(1+,所以B错误；qvvio29(1+1023)Ioq9?10对于C,若将信噪比凯255提升至1023,则飞7E为二一l=jT=当一1=；,所以C增加了25%,所以C正确；O4对于D若将信哮比*从999提升至4999则团喻9-2?也1噌5(X)OJ、D右时1口求吃MaW旋k王4
8、W,人Wlog2(1+999)Iog2I000.50001Ig5+31.l5圻r/n下港一Ig100()3J30233,所以D正确.感悟提升1.在对数运算中，先利用赛的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、赛再运算.3H=N=Z?=IOgaMa0,且0Wl)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.J考点三对数函数的图象及应用例1(1)(多选)(2021重庆一模)小b,cR,且80,若e，=ln8=:，则小b,c的大小关系可以是
9、（）A.ahcB.hcaC.cabD.acb答案ACD解析设e=ln=1=2,如图，在同一坐标系中画出函数y=ex,y=nx9y=:的图象,当直线y=机与三者都相交时，交点的横坐标即为mb,C的值，由图知，当m从大到小时，依次出现CVaV/?、ac0,（2）已知函数应）=1”YC且关于X的方程Ar）+%。=0有且只有一个实、3,XW0,根，则实数的取值范围是.答案（1,+）解析如图，在同一坐标系中分别作出y=r）与y=x+l的图象，其中。表示直线y=x+在y轴上的截距.由图可知，当时，直线y=-x+。与y=7U）只有一个交点.（3）已知函数段）=logM,实数处（满足OVaV4且/（）=j电）
10、,若於）在片,力上的最大值为2,则5+方=.答案4解析Vx)=log2T,.JU)的图象如图所示，又/()=y(b)且OVaVA,0a且缶=1,a26t,由图知，J(x)ma=J(a2)=log22=2iog2=2,.a=y.b=2,Z？=4.感悟提升1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法值个四1103- 54-3,求解.训练1(1)图中曲线是对数函数y=k)gd的图象，已知。取L则对应于Ci,C2,C3,。4的。值依次为()aS 4 3
11、 LA 3, 5, 10c4 S 3 _Lc*3, Y 5 10答案Ab.l , I dI 5j 5解析作直线y=l,由IOga=I得=a,L431则对应G,C2,。3,。4的。值依次为小，W亍j.(2)当x(l,2)时，不等式。一IpVlOgd恒成立，则。的取值范围是()A.(0,1)B.(l,2)C.(l,2D.(,0答案C解析设力(X)=(R1)2,及(X)=IOgd,要使当x(l,2)时，不等式(-l)2时，如图所示，要使在区间(1,2)上，力(X)=CrIp的图象在力(x)=logd的图象的下方，只需力(2)W及(2),即(2-l)2log,2,所以IOga221,解得IVaW2.J
12、考点二对数函数的性质及应用角度1比较大小例J2(1)设。=IOg412,Z?=log515,C=Iogel8,则()A.abcB.bcaC.acbD.cba答案A解析a=+log43,j=llog53,c=1log63,*/log43logs3log63,abc.(2)(2021天津卷)设=log23,=logj0.4,c=0.4则小Cc的大小关系为2()A.abcB.cabC.bcaD.acb答案D解析Vlog20.3log21=0,：.alog22=1,.b.2VOO.4o3O.4o=1,0c1,9ac4og38)的解集为.答案(1*16)u(r+8)解析因为函数段)是定义在R上的偶函数，且在(一8,0上单调递减，所以可将(logJ(2-5)U0g38)化为log/2-5)log38,即log3（2-5）kg38或log3（2-5）logs8=l0
