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1、限时训练19：直线与抛物线的位置关系（2023.10.7限时20分钟）（成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。）一、单选题1 .已知产为抛物线CV=4x的焦点，A为。上的一点，AF中点的横坐标为2,则A11=（）A.3B.4C.5D.62 .已知直线/：0-y-=0与抛物线CV=4交于a,8两点，点A,8到X轴的距离分别为加，,则+=inn（）A.通B.&C.亚D.也23463 .设0为坐标原点，抛物线y2=4的焦点为F,P为抛物线上一点.若IPFI=5,则尸尸的面积为（）A.1B.2C.3D.24 .已知抛物线G：V=4x,直线/交该抛物线于AB两点.若线段48的中点坐
2、标为（3,2）,则直线/斜率为（）A.；B.-C.1D.2245.已知抛物线MQ=2p2（p0）的焦点为产，过点F且斜率为二的直线/与抛物线M交于A（点A在第二象限）,4IafI8两点，则局=（）A.-B.-C.4D.5546 .设倾斜角为Q的直线/经过抛物线CV=2px（p0）的焦点R与抛物线。交于A、8两点，设4在工轴上方,点8在X轴下方若同=2,则coSa的值为（）A1RIr2n22a.BIc5d二、多选题7 .（多选）过点（0,1）且与抛物线V=有且仅有一个公共点的直线是（）A.x=0B.J=OC.x=lD.J=I8 .抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛
3、物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线UV=2px（p0）,。为坐标原点，一条平行于X轴的光线4从点尸（?，4）射入，经过C上的点A反射后，再经。上另一点8反射后，沿直线4射出，经过点。.下列说法正确的是（）.A.若=4,则M臼=8B.若p=2,则AB=6C.若p=2,则PB平分NA5。D.若P=4,延长Ao交直线工=-2于点M,则M,B,。三点共线9 .点P是抛物线V=76%上一动点，若点Q（0,-3）,记点P到直线x=4的距离为4则PQI+d的值可以取（）A.7B.42C.5D.2510 .己知抛物线V=8的焦点为凡过户且倾斜角为
4、45。的直线/交抛物线于A,B两点,以下结论中正确的有（）A.直线/的方程为-y-2=0B.原点到直线/的距离为C.IA例=16D.以AB为直径的圆过原点三、填空题11 .过抛物线C：V=以焦点尸的直线/交抛物线。于48两点，且A尸=3m，若M为A8的中点，则M到y轴的距离为.12 .已知点“为抛物线U=2外（p0）的焦点，过点尸且倾斜角为60。的直线交抛物线C于48两点，若E4叫=3,则=.参考答案：1. B【分析】根据跖中点的横坐标求出A点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：尸(LO),准线方程为4-1,设AW,)，则AF中点的横坐标为等，故安=2,解得：m=3,由抛物线的
5、焦半径可知：IAQ=3+1=4.故选：B2. A【分析】联立直线方程与抛物线方程，求出点A,B的纵坐标，进而得到小，力求出,+!mn的值.【详解】联立L-y-=0与丁=以得：/-2v-4=0,解得：yl=2+-76,j2=y2-y6,不妨令m=五+R,则=#一,所以g+g=标1+忑二正二故选：A3. D【分析】先由抛物线方程求出点尸的坐标(1,0),准线方程为X=-I,再由IPH=5可求得点产的横坐标为4,从而可求出点尸的纵坐标，进而可求出丹的面积【详解】由题意可得点尸的坐标(LO),准线方程为户-1,因为P为抛物线上一点，忸川=5,所以点尸的横坐标为4,当x=4时，y2=4x4=16,所以I
6、JI=4,所以ZXOPF的面积为:xlx4=2,故选：D4. C【分析】设Aa,y),8(/,%)，利用“点差法”，结合线段AB的中点坐标为(3,2),即可求得答案.【详解】设A(X,凹),8(%,%)，则#=4%,卜=4%2，,故上一於=4X-4,由于线段AB的中点坐标为(3,2),故由抛物线对称性可知AB斜率存在，即xW,且Y+%=2x2=4,故3=4,即=1,X-X2X-X2丁1+必所以直线/的斜率为1.故选：C5. A【分析】求出焦点坐标，设出直线方程，与抛物线方程联立，设4(内,凹),8(七,%)，50)联立得：6p2x2-6px-=01p(2px-l)(8px+l)=0,设4(不1
7、),8(毛,%)/1ji11832p8/732p1I刀几所以隅=4故选：A6. A【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为。的余弦值.【详解】过A,B分别作准线的垂线交准线于M,N,过3作3C_L4W于C,则AC=AM-BN,因为降；=2，.AB=3B产,WI所以如=出生二竺心J型二LssNCAB,AB3BF3BF3BF3故选：A.7. AD【分析】本题是求一条直线的方程，常规方法是直接设直线的方程，然后建立相关方程，然后解出来即可，本题由于是选择题，则直接用选项来检验是否满足题意即可得出答案。【详解】点(O,I)在抛物线外，过此点且与抛物
8、线有一个公共点的直线共有3条：其中两条是抛物线的切线；一条平行于抛物线的对称轴；可得：直线X=O是过(O,1)且与抛物线相切的直线，直线y=l是过(0,1)且平行于抛物线的对称轴的直线，BC选项的直线不满足条件.故选：AD.8. ACD【分析】运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果即可得出答案.【详解】对于选项A,若P=4,则抛物线C:V=8,C的焦点为尸(2,0),由已知条件得42,4),直线AF的方程为4=2,可得8(2,Y),AB=8,选项A正确；对于选项B,若P=2,则抛物线C:V=4x,C的焦点为尸(1,0),由已知条件得A(4,4
9、),直线质的方程为叙-3k4=0,可得以1-1),425IA=-,选项B不正确；4对于选项C,p=2时，.AP=?-4=g=A8,NABP=NAPB,44又.NAP8=NP3Q,.总平分445。，选项C正确；对于选项D,若P=4,则抛物线Uy2=标,C的焦点为22,0),A(2,4)延长AO交直线X=2于点M,则M(-2,Y),由A选项可知B(2,T),则M,B,0三点共线，故D正确：故选：ACD.9. ABC【分析】求出焦点坐标为厂(T0),利用抛物线定义得到P/=d,数形结合得到Ipa+d回=5,得到答案.【详解】抛物线焦点坐标为F(T,0),准线方程为=4,如图，由抛物线定义可知：I尸尸
10、二d故PQ+d=1PQ+PF,连接FQ,此时与抛物线的交点P即为PQ+P目的最小值，故I尸Q+d=I尸0+1尸尸|忻Ql=42+32=5,故选：ABC10. ABC【分析】对选项A,利用点斜式求出直线方程即可判断A正确，对选项B,利用点到直线的距离公式即可判断B正确，对选项C,首先联立直线和抛物线，再利用焦点弦公式即可判断C正确，对选项D,根据送1?滞0即可判断D错误.【详解】如图所示：对选项A,抛物线的焦点为尸(2,0),所以直线/的方程为y=x-2,故A正确；-2L对选项B,d=-j=y2,故B正确.Y2二V对选项C,联立，-=x2-12x+4=0,y=x-2设A(APyJ,B(x2ty2)t则+2=12,xlx2=4,所以IABl=X+%+P=12+4=16,故C正确.UUIlUU对选项D,OAlOBxx2yiy2=xlx2(N-2)(x1-2)=2x1Xj-2(x1+x2)+4=-120,解得P=
