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1、2024-2025相像三角形专题复习【学问点梳理】1 .相像三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相像比。三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。2 .相像三角形的判定：平行法三组对应边的比相等（类似于三角形全等判定“SSS”）两组对应边的比相等，且夹角相等（类似于三角形全等判定“SAS”）两角对应相等（AA）直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。3 .相像三角形的性质：对应角相等对应边的比相等对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相像比对应的面积之比等于相像比的平方。4 .相像三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
2、【例题精讲】考点一：平行线分线段成比例1、（2024广东肇庆）如图，已知直线&6。直线卬、n与乐庆。分别交于点力、C、E、B、D、FtAC=4,绥=6,劭=3,则跖=（）.7B,7.5C.8D.8.52、（2024乌鲁木齐）如图，ABGHCD,点H在BC上，AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为.考点二：相像三角形的判定1、（2024南充）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=3,BC=7,ZB=60o,P为BC边上一点（不与B,C重合），过点P作NAPE=NB,PE交CD于E.AD求证:APBPEC;（2）若CE=3,求BP的长./不B,2、（2024山东潍坊）如图，已知矩
3、形A3CO的长48为5,宽BC为4.E是BC边上的一个动点，AE_L上EF,EF交CD于点、F.设BE=XFC=y,则点E从点B运动到点C时，能表示y关于X的函数关系的大致图象是（）考点三：相像三角形的性质1.（2024青海西宁）如图6,在等边AABC中，O为BC边上一点，E为AC边上一点，且NAoB+NEQC= 120 ,BD=3,CE=2,则aABC的边长为（）A.9B.12C.16D.182. （2024四川雅安）如图，D、E、F分别为AABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（）AADEoqABCB.S&abf=SNAFCC.Sade=SabcD.DF=EF3. （2024四川内江）如
4、图，在AABC中，点。、E分别是边A8、AC的中点，。尸过EC的中点G并与BC的延长线交于点F,BE与DF交于点、0.若aAOE的面积为S,则四边形80GC的面积=.考点四：位似1、（2024南宁）如图，4ABC三个定点坐标分别为A（-1,3）,B（-1,1）,C（-3,2）.（I）请画出ABC关于y轴对称的ABC;（2）以原点O为位似中心，将ABC放大为原来的2倍，得到AAzBzCz,请在第三象限内画出A2B2C2,2、（2024玉林）如图，正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的X轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC=37
5、,若点A，的坐标为（1,2）,则正方形A旧，CIy与正方形ABCD的相像比是（）A.-6C.一22 D.-3考点五：相像三角形的应用学问点h物高与影长问题：1、为了测量路灯(OS)的高度,把一根长1.5米的竹竿(AB)竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子(BC)长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米(BB),再把竹竿直立在地面上，测得竹竿的影长(BC)为1.8米,求路灯离地面的高度.2、如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影力比1.125m,蹲下来，则身影A(=0.5m,已知小明的身高Af)=,6m,蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH.学问点2.三角形中截出矩形问题：1、(
6、2024娄底)如图，在AABC中，ZB=45o,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H.(1)求证：期重；ADBC(2)设EF=x,当X为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的函数关系式，并写出t的取值范围.边PQ到达A点时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与AABC重叠部分的面积为S,求S与1的2、（2024孝感）锐角4A5C中，BC=6,Sabc=12,两动点/，N分别在边ABAC上滑动，且MNBC,以MN为边向下
7、作正方形MPQN,设其边长为正方形MPQN与AABC公共部分的面积为 y(yO)（第2题图1）（第2题图2）学问点3:动态中的相像问题:1、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A起先向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D起先向点A以1厘米/秒的速度移动。假如P、Q同时动身，用t秒表示移动的时间（0t6）,那么：（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与AABC相像？2、如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰4PQR,PQ=PR=5c
8、m,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线/上，当C、Q两点重合时，等腰4PQR以ICm/秒的速度沿直线/按箭头所示方向起先匀速运动，当点C与点R重合时等腰APQR就停止运动，t秒后正方形ABCD与等腰APQR重合部分的面积为SCln2,解答下列问题：（1）求S与t的函数关系式；（2）当t为何值时，S的值最大？并求S的最大值。【巩固练习】1、（2024巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高2、（2024厦门）如图,在AABC中,第2题图DEII BC, AD=I, AB=3, DE=2,则 BCq第3题图第4题图第5题图3、（2024苏州）如
9、图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为4、（2024湘西）如图，在GABCD中，E是AD边上的中点，连接BE,并延长BE交CD延长线于点F,则4EDF与ABCF的周长之比是（A. 1： 2)B. 1： 3C. 1： 4D. 1： 55、（2024温州）如图,在AABC中，点D, E分别在边AB, AC , DEBC,已知AE=6,旭则ECBD 4的长是（）B. 8C. 10.5D. 14第8题图6、如图，点时是4%内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的
10、三个小三角形卜2（图中阴影部分）的面积分别是4,9和49.则的面积是.7、2024自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BGlAE于G,BG=42,则EFC的周长为（）A. 11B. 10C. 9D. 88、（2024黔东南）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则感的值是EC9、（2024莆田）下列四组图形中，肯定相像的是（）A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形10. （2024宜昌）如图，点A, B, C, D的坐标分别是（1, 7）, （1, 1）,(4, 1), (6, 1),以 C, D, E
11、 为则点E的坐标不行能是（顶点的三角形与AABC相像, B.(6, 3)C.)(6, 5)第11题图D. (4, 2)第12题图11、（2024重庆）如图，在平行四边形ABCD中,点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F,若 AE=2ED, CD=3cm,则 AF12、（2024荆门）如图，在RtZkABC中，ZACB=90o,D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,SinA=旦则DE=513、（2024天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,ZADE=60o,则AE的长为.14、（2024恩施）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,E
12、为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F,则DF：FC=（）A.1：4B.1：3C.2：3D.1：215、（2024孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（-4,2）,F（-2,-2）,以原点O为位似中心，相像比为L把AEFO缩小，则点E的对应点日的坐标是（）2A.（-2,1）B.（-8,4）C.（-8,4）或（8,-4）D.（-2,1）或（2,-1）16、（2024泰州）如图，平面直角坐标系Xoy中，点A、B的坐标分别为（3,0）、（2,-3）,AB,O,ABO关于的A的位似图形，且O的坐标为0）,则点B，的坐标为.17、（2024咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EoFB,G
13、HMN都是正方形的花圃.已知自由翱翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A.HB.1C.11D-17322363818.（2024四川遂宁）已知：如图，在AABC中，点A,l,G分别是8C、AC、AB的中点，A2,&，C2分别是SG,AlC,Al囱的中点，依此类推.若AABC的周长为1,则448C的周长为.19、（2024四川巴中）如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的。交BC于点。,过。作MLLAC于点M,交AB的延长线于点M过点8作BG_LMN于G.（1）求证：IXBGDSRDMN,NGNG（2）求证：直线MN是。的切线.20、（2024绍兴）在
14、ABC中，ZCAB=90o,AD_LBC于点D,点E为AB的中点，EC与AD交于点G,点F在BC上.（1）如图1,AC：AB=I:（2）如图2,AC：AB=I:21、（2024山东东营）【探究发觉】如图1,ZkABC是等边三角形，ZAEF=60o,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思索】某数学爱好小组在探究AE、EF的关系时，运用从特别到一般的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B,C除外）随意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍旧成立.假如你是该爱好小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的随意一点；“点E时线段BC延长线上的随意一点；“点E时线段BC反向延长线上的随意一点三种状况中，任选一种状况，在图2中画出图形，并证明AE=EF.【拓展应用】当点E在线段Be的延长线上时,若CE=BC,在图3中画出图形,并运用上述结论求出SabuSAEF的值.
