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1、3.3抛物线XXX圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1 抛物线及其标准方程例1(1)已知抛物线的标准方程是必=6%,求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(O,-2),求它的标准方程.解：(1)因为p=3,抛物线的焦点在X轴正半轴上，所以它的焦点坐标是修,0),准线方程是=得(2)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且T=2,p=4,所以抛物线的标准方程是X2=-Sy.例2一种卫星接收天线如图3.33左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1),已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为
2、1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.图 3.3-3解：如图3.3-3(2),在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，焦点在X轴上.设抛物线的标准方程是y2=2px(p0).由已知条件得，点A的坐标是(1,2.4),代入方程，得2A2=2pX1,即P=2.88.所以，所求抛物线的标准方程是y?=5.76%,焦点坐标是(1.44,0).练习1 .根据下列条件写出抛物线的标准方程：(I)焦点是F(3,0);(2)准线方程是=-；4(3)焦点到准线的距离是2.【答案】y2=i2x；(2)y2=x；(3)y2=4xix2=4y.【分析
3、】(1)根据抛物线的焦点坐标可写出抛物线的标准方程；(2)根据抛物线的准线方程可写出抛物线的标准方程；(3)根据抛物线的焦点到准线的距离可写出抛物线的标准方程.【详解】(1)由题意可知抛物线的焦点在X轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为y2=2pf则葭=3,可得P=6,所以，抛物线的标准方程为*=12%；(2)由题意可知抛物线的焦点在X轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为必=2px,则-2=-(,可得p=(因此，抛物线的标准方程为y2=%；(3)抛物线的焦点到准线的距离为p=2,所以，抛物线的标准方程为必=钛或/=4y.2 .求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(l)y2=2Ox；/=1；(3)2y
4、2+5x=0；(4)x2+8y=0.【答案】(1)焦点坐标为(5,0),准线方程为=5.(2)焦点坐标为(O,；),准线方程为y=-J.OO(3)焦点坐标为(-a0),准线方程为=(4)焦点坐标为(0,-2),准线方程为y=2.【分析】先将抛物线化为标准方程，再由抛物线的性质，可得抛物线的焦点坐标和准线方程.(1)解：.y2=20x,.2p=20,即P=10, 抛物线y2=20X的焦点坐标为(5,0),准线方程为X=-5.解.：.2=1y, 2p=(即P=% 抛物线=Iy的焦点坐标为(0,；),准线方程为y=-i28o(3)解：.2y2+5x=0,25y=-X2p=即P=一京抛物线2/+5x=
5、0的焦点坐标为(一表0),准线方程为=(4)解：.X2+8y=0,X2=-Qyf.2p=-8,即P=-4,抛物线/+8y=0的焦点坐标为(0,-2),准线方程为y=2.3 .填空(1)抛物线y2=2p%(p0)上一点M与焦点的距离是(g,则点“到准线的距离是,点M的横坐标是;(2)抛物线产=12%上与焦点的距离等于9的点的坐标是.【答案】aQ-T(6,6)或(6,-6)【分析】(1)根据抛物线的定义可得点M到准线的距离，写出准线方程即可得解；(2)写出抛物线y2=12%的准线方程，设出所求点的坐标，列式即可作答.【详解】(1)由已知结合抛物线定义得点M到准线的距离是。；抛物线y?=2px(p0
6、)的准线方程为=-旨设M的横坐标出(出0),于是有&一(-7)=即%o=-所以点M到准线的距离是由点M的横坐标是Q-今(2)抛物线y?=12%的准线工=-3,设所求点坐标为(t,y),由知%1=6,此时光=12x1=72,即=62,所以所求点坐标这(6,6)或(6,-6).故答案为：(l);a-；(2)(6,6位)或(6,-6企)3.2抛物线的简单几何性质例3已知抛物线关于X轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,-2),求它的标准方程.解：因为抛物线关于X轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,-2),所以可设它的标准方程为y2=2px(p0).因为点M在抛物线上，所以(-22)2=2p
7、x2,解得P=2.因此，所求抛物线的标准方程是y2=4x.例4斜率为1的直线1经过抛物线好=轨的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长.分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线1的斜率为1,所以可以求出直线1的方程；与抛物线的万程联立，可以求出A,B两点的坐标：利用两点间的距禽公式可以求出IAB|.这种方法思路直接，具有一般性.请你用此方法求A8.下面介绍另外一种方法数形结合的方法.在图3.3-4中，设4(右,%),Bx2,y2).由抛物线的定义可知，AF等于点A到准线的距离44.由p=1,得44=x1=X1+1,于是MFl=x1+l.同理，田Fl=BB,=2+=2+1,于
8、是得AB=MFl+BF=Xl+M+p=/+%2+2.由此可见，只要求出点A,B的横坐标之和与+Q,就可以求出M8解：由题意可知，p=2,：=1,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为=-1.如图3.3-4,设AaI,为)，(x2,y2),A,B两点到准线的距离分别为服，dB.由抛物线的定义，可知AF=dA=x1+1,BF=dB=x2+于是AB=AF+IBFl=x1+x2+2.因为直线1的斜率为1,且过焦点尸(1,0),所以直线1的方程为y=x-l.将代入方程y2=4x,得(X-I)2=4x,化简，得X2-6x+1=O.所以x1+X2=6,AB=x1+X22=8.所以，线段AB的长是8.练习4 .
9、求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)关于X轴对称，并且经过点M(5,-4);(2)关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)；(3)准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4；(4)焦点尸在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点尸，且尸尸平行于准线.【答案】(I)/=y%.(2)x2=20y.(3)y2=-16x.(4)x2=-32y.【分析】(1)设出抛物线方程代入点的坐标即可求得抛物线方程.(2)先求得准线方程，利用准线方程求得P的值，求得抛物线方程.(3)利用抛物线的几何性质求得p,求得抛物线方程.(4)利用焦半径公式及抛物线的几何性质求解即可.【详解】(1)由题可设抛物线的标准方程为必=2px
10、(p0),.Y抛物线过点M(5,-4),/.16=10p,p=则抛物线的标准方程为必=费X.(2):抛物线关于y轴对称,且准线过点E(5,-5),工抛物线的焦点在y轴正半轴上，设抛物线的标准方程为/=2py(p0),由题知，抛物线的准线方程为y=-5,所以：=5,得P=I0,抛物线的标准方程为2=20y.(3)抛物线的准线在y轴右侧， 可设抛物线的方程为必=-2px(p0), 抛物线顶点到准线的距离是4,所以1=4,得P=8, 抛物线的标准方程为y2=-I6x.(4)抛物线的焦点F在y轴负半轴， 可设抛物线的方程为/=一2py(p0), 抛物线经过横坐标为16的点P,162=-2py,y=-又
11、。平行于准线，-乎=-弓2p2.p=16，抛物线的标准方程为/=-32y.5.在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中X的系数的关系：(1)y2=x;(2)y2=%；(3) y2=2x；(4)y2=4x.【答案】图象如图，X的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.【分析】作出抛物线图象，得X的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.【详解】解:抛物线如图M的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.6 .过点M(2,0)作斜率为1的直线/,交抛物线y2=4%于A,B两点，求A8.【答案】46【分析】直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式，计算求值.【详解
12、】直线Ly=X-2与抛物线方程联立FI2,得/一8%+4=0,(=4%J=6416=480,设4(%,%),8(%2，%)，得%+x2=8,x1x2=4,所以|48|=1+k2Xy/(x1+x2)z-4x1x2=VX64-16=46.7 .垂直于轴的直线交抛物线丫2=轨于A,8两点，且4B=4g,求直线AB的方程.【答案】尸3【分析】先根据弦长求得A,8的坐标，代入抛物线方程可得.【详解】解：Y垂直于X轴的直线交抛物线.y2=4x于A、8两点，且H8=46,A(,23),B(x,-23),代入抛物线方程可得：12=4x,x=3，直线48的方程为x=3.例5经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B
13、两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线。8与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.证明：如图3.3-5,以抛物线的对称轴为X轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系%0y.设抛物线的方程为y2=2px(p0),点A的坐标为隐yo)(y00),则直线。4的方程为y=X,抛物线的准线方程是X=-输联立，可得点D的纵坐标为-Q.Vo因为焦点F的坐标是,0),当必WP2时，直线AF的方程为联立消去X,可
14、得出y2一(y,-p2)y-y0p2=0,即(y-yo)(yoy+P2)=。，可得点B的纵坐标为-，与点D的纵坐标相等，于是。B平行于X轴.yo当犬=p2时，易知结论成立.所以，直线。8平行于抛物线的对称轴.例6如图3.3-6,已知定点B(0,-),8C1X轴于点C,M是线段OB上任意一点,MO1x轴于点D,D,MEIBC于点E,OE与MD相交于点P,求点P的轨迹方程.解：设点P(%,y),M(x,n),其中0x,则点E的坐标为(0,n).由题意，直线08的方程为y=-x.因为点M在。8上，将点M的坐标代入，得m=-X,a所以点P的横坐标X满足.直线OE的方程为y=x;因为点P在OE上，所以点P的坐标(y)满足.将代入，消去m,得X2=-y(0%)即点P的轨迹方程.练习8 .求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点尸关于准线的对称点为M(0,-9);(2)关于y轴对称，与直线y=-12相交所得线段的长为12；试卷第8页，共20页(3)关于X轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为28的等边三角形.【答案】-=12g(2)X2=-3y；(3)必=6%或y2=一6工【
