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1、专题1-8数列求和14类题型一网打尽MW/题型解读数列求和常见题型梳理【题型U错位相减【题型2】裂项相消（常规）【题型3】分组求和【题型4】裂项相消（进阶）【题型5】并项求和【题型6】倒序相加【题型752与Sa下标的讨论和处理【题型8】通项含有（-1）”的类型【题型9奇偶数列求和【题型10隔项数列求和（一皴并项求和）【题型11和为等比数列求和【题型12插入新数列混合求和【题型13】通项含绝对值的数列求和【题型14取整数列求和满了i瓦7数列求和常见题型梳理一、错位相减法类型一：%=%4（其中凡是等差数列，”是等比数列）类型二：,=1-（其中勺是等差数列，4是等比数列）bn二、裂项相消法类型一：等
2、差型111、11z11、-=7）；TjvJj77=（;7）n（n+k）knn+k（n-i）（n+1）2kn-kn+类型二：无理型I-r=(Vw+T-4n)yn+k+yn类型三：指数型(a-)a,_11(,+*+k)(ank)an+kan+l+k裂项相消进阶1、裂项相加：(-l)n例：J),；：；)=(_)：+7)，本类模型典型标志在通项中含有(T)乘以一个分式.对于=(-r+%可以裂项为“二(-i),t巴士包=(-rf-+4M川”an+)2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：n(n+1)=+1)(+2)一(一V)n(n+1)一般式,当公差为人时:3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函
3、数相乘例子:+22(n+)-n(2_1_1n(w+l)2n(n+)-2n-1ww+TjF-w2(w+l)2w一般结构a-)kn + ab + ak-b(攵一 b)女( + 1) + Z)an (kn-b)M + l) + b三、分组求和法3.1 如果一个数列可写成%二%2的形式，而数列%,是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.an为奇数3.2 如果一个数列可写成c“=(d/田3的形式，在求和时可以使用分组求和法.为偶数四、倒序相加法即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和，心题型;【题型1】错位相减1.已知q,=
4、2-l,若数列出满足。自+%&+也=(23)2e+6,求和：Tn=a也+at,.lb2+岫.【答案】Tfl=32n+l-4n-6【详解】因为。4+生4+q=(2-3)2+6,所以albi+a2h2+TaT=(2n-5)2+6(2),两式相减得anbn=(2n-3)2+,6-(2w-5)2-6(2)=(2i-1)2w(2),又岫=2满足上式，所以allbn=(2n-l)2n(nN),又见二2-1,所以=2”.则7L=哂+a也T+-+an-lb2+=1x2+3x2T+5x2”-2+(21)x2,2=l2+l+32+52T+.+(2w-l)22,两式相减得：Tn=2+,+2+,+2rt+23-(2n
5、-1)2=*+8(1-21)-(2w-l)2=32+,-z-6.2.记数列“的前项和为。，且q=Iq=JG2).求数列q的通项公式；(2)设机为整数，且对任意7,m-+-,-,求AM的最小值.6%4f17=1,【答案】F2.3【分析】(1)由数列可与7；的关系可得%=2%(2),再结合等比数列的通项可得解：12n(2)利用错位相减法求出一+，结合范围即可得解.G。2an【详解】(1)因为q=1M=Ze(2),所以%=%=1,当“2时，a/I=Tft=Tn7+%=2。0,故”=422=2-2(2),且q=l不满足上式，故数列%的通项公式为an =1/ = 1,2n-n2.Cl2n(2)设S.=+
6、则S=l,aa2an当应2时,S=l+220+32-,+22n.故;Sz,=g+22+32+2j,于是=3+(2+2-2+22-)_25=g+l1klr?.2j22,2l-2l整理可得S,=7-5+2)22-,所以，6,所以符合题设条件的m的最小值为7O差比数列的其它处理方式（待定系数法）3 .已知为=(2-5)x2,求S”.【答案】勺=(2-5)x2=/l(+l)+4x2”“-(2+)x2=(/l+2；l+2，=2(=2l+=-5z=-9an=2(+1)-92n+,-(2-9)2n,Sn=2(w+l)-92rt+1+14=(2-7)2rt+,+14.【题型2】裂项相消（常规）4 .已知q=/
7、一,证明：+0,即可得证.n+anlnn+2J+1+2【详解】解：由%=y,则-=与%=&+1anw(w+2)(+2)2(n+2JKp-+J4416I6.已知正项数列”的前项和为Szf,且满足5”=4外+求打求Wrw+1+.+就;【答案】(I)SZf=G;(2)TT1【分析】(1)先令=1求出首项，再由数列的递推公式，当“2时，氏=5一SIT代入并结合等差数列的定义和通项公式求出S.(2)由第一问S”的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果【详解】(1)根据题意可得。”0,当=1时，S=q=g1%+:,解得q=1,由%=Stt-Sz,“2代入得S”=以整理后得SMt=,，即SS3=1
8、,根据等差数列的定义可知，数列同是首项为1,公差为1的等差数列，则S；=l+(l)J=，s”=,-1111由可知邑=+一二 = l + 2+2+3+34+ lw w +1 -=J + l-1,5/2 1 3 VJ+,4 ,3 + . .+yn + -yfn+. + =Jn +1 -4SI+邑 s?+S3 S3 + S4 5+5+T7.已知勺 = 2-1,设=2 + 14%求数列出的前项和S”.【答案】【详解】所以 S. =4 +b2 + + o“11(/(3升+(-21)Z11_(-ll-2)112+,-122n+,-1对式子变形后再裂项：一瓶是分离常数8 .已知=J设%=42qt%+,求数列
9、匕的前项和2w-l【解析】4n14/L4-11_11二1(1J_Tn =cl +c2c3 + +c0 =w+ (1- 1+ 2w-l=w + 2wlJ 2+1(2w-l)(2zr+1)4n2-4n2-。-1)Q+1)2Q一12n+)9 .已知%=2+4,记=，数列也的前项和为求人n解析，地=/、=；Q-7?nan(2+4)41n+2J12n+1n+232+3G-4(+1)(+2)10 .已知勺二下可(eN)若=(2+l)d,求数列出的前项和乙,2w+l11【解析】“=而=；TmrsK,-M)+,()=(=三?-11 .已知=,证明：+-1+。,即可得证.【详解】解:1 +2 n+1 n+23=
10、n + 4 21 1 n + 2 ),则也=) _ W(7 + 2) H2)(+2)“ a， /(E4-+ +-2-= n+/7 + 2因为r .w+1 n+230,所以 + .4 2U + 1 n + 2L+a. 3+ -zL w + -【题型3分组求和12.己知见=2-1,若数列4满足=|：22工，求数列4的前2项和4.2 9、4n+, -4【答案】2n2-n + - 3【详解】因为“=%, 为奇数 2”,为偶数所以=2 -1, 为奇数2,为偶数所以与“=(1+22)+(5+24)+(4-3+22)=(1+5+47-3)+(22+24+22w)414,-3)i22(1-4)24-4M/国U
11、ir13.已知=2，设二(4:4将，数列的前2项和为耳，求log2。”,为奇数【答案】7n=1.4w+,+-33【详解】T2l,=bi+b2+n=(+y+b4+)=l+3+5+(2w-l)+(22+24+22fl)(1+2-1)404)-2+1-4=-4,+1+n2-.3314 .己知勺=2”,设2为数列%在区间(0m(N)中的项的个数，求数列也前100项的和.【答案】480【详解】由代为数列q在区间(0,6(GN.)中的项的个数，可知4=0,H=4=1,=h5=h1=2.当8w15时，bm=3;当16m31时，bm=4；当32m63时，=5；当64m4100B寸，1=6./.b+b2+00=0l+l2+24+38+416+532+637=480.15 .已知数列勺的前项和S“，且S=3S+1,4=1,数列也满足=1,5+1也=其中?N*.求凡和也的通项公式；l0g3%,为奇数(2)设q=4为偶数，求数列%的前20项和(+2)二、【答案】=3T,=G=写Sx,n=,、，、c一、累乘法求得%和也的通项公式：(2)结合分组求和法、裂项相消求和法求得A。.
