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1、微专题6基本初等函数、函数与方程高考定位1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型；2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.【真题体验】1.（2023天津卷）若=L015=1.016,c=0.65,则,C的大小关系为（）A.cabB.chaC.abcD.hac答案D解析法一因为函数KX）=I.0N是增函数，且0.60.50,所以l.Ol6l.Ol5l,即ba；因为函数g（x）=0.6x是减函数，且0.50,所以0.65c.故选D.法二因为函数/）=1.0IX是增函数，且0.60.5,所以LOi61.015,三Pba；因为函数
2、（X）=-5在（0,+8）上单调递增，且1.010.6X）,所以1.0150.605,即c.综上，6c故选D.2 .（2023全国甲卷）已知函数x）=e（3Ip.记。=坐匕=/坐），C=caB.hacC.cbaD.cab答案A解析函数段）=e-（-l）2是由函数y=e和=一（X1尸复合而成的函数，y=e为R上的增函数，=（xI/在（-8,D上单调递增，在（1,+8）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，7U）在（一8,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减.易知7U）的图象关于直线X=I对称，所以。c,故选A.3 .（多选）（2023新高考I卷）噪声污染问题越来越受到重视相声压级来度量声音
3、的强弱，定义声压级4=20X1端，其中常数PoSO0）是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级dB燃油汽车1060-90混合动力汽车1050-60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车IOm处测得实际声压分别为pi,“2,则（）A.p22B.p2lp3c.p3=100poD.p100p2答案ACD解析因为4=20X1端随着的增大而增大，且Lp60,90,Lp250,60,所以Lpi2Lpz,所以pi20,故A正确；32LP3假设p210p3,则pollpol,1.PZ33所以l10,所以42Lp320,不可能成立，故B不正确;由LP=2
4、0XIg,得P=Pcl。?。因为Lp3=40,40所以3=810m=10。，故C正确；因为曙LP2 100)10jLPlPOIoG7lP2 lP =10+2 1u20 201 ”所以PIWlOOp2,故D正确.综上，选ACD.4 .(2021北京卷)已知r)=lgx一乙一2,给出下列四个结论：若Z=O,则火x)有两个零点；衣o,使得yu)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案解析令yw=Ilg川一日一2=o,可转化成两个函数y=lgx,y=kx+2的图象的交点个数问题.对于，当Z=O时，”=2与y=lgx的图象有两个交点，正确；对于，存在M0,使户=辰+2与y=lgx的图象相切，正确；对于，若
5、A1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故正确.5 .(2023天津卷)若函数段)=公2一级一丫一公+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为.答案(一8,0)U(0,1)U(1,+)解析(1)当。=0时，氏)=2xf+l=-2-f1=-(x+l)2W0,不符合题意；(2)当白0时，若24W0,即-2,O)U(O,2时，)=加一2-2+0-1=(一l)x2+(-2)x1,(i)当。=1时，yu)=-x1,不符合题意；(ii)当“l时，若Kr)有且仅有两个零点，则/=(02)2+431)=0,得-2,0)U(0,1)U(1,2,符合题意；当a2-40,
6、即a2或a2时，函数y=ax2-2x的图象开口向上，对称轴为直线x=,且(,3)；函数y=for+l的图象开口向上，对称轴为直线x=*且?1，当2X=垓时，y=q+lv.作出函数y=02-2X与y=2-0x+l的大致图象，如图(1),函数图象恰有两个交点，符合题意；(ii)当a=*r+l的大致图象，如图(2),函数图象恰有两个交点，符合题意.综上可得，(-8,0)U(0,1)U(1,+).【热点突破】热点一基本初等函数的图象与性质I核心归纳1.指数函数y=YO,且1）与对数函数y=logd（。0,且0l）互为反函数,其图象关于y=x对称，它们的图象和性质分OVaVI注两个函数图象的异同.2.幕
7、函数y=K的图象和性质，主要掌握4=1,2,3,例1(1)已知lg+lgb=0(00且Q比0且少#1),IOgU的图象可能是()AB44CD(2)(2023天津模拟)已知e=lg2,b=lg(ln2),C=In:是()A.cbaB.bacC.acbD.bcgU的图象关于直线y=x对称，b,a两种情况，着重关I，一1五种情况.则函数於）=出与g（x）=-J会则a,btC的大小关系且具有相同的单调性.故选B.(2)由e=lg2,得。=In(Ig2),因为ig2igT=,所以In(lg2)ln5,即ac,因为I=In/ln2lglg苏=T所以Ig(In2)ln今即bc9所以acb.规律方法1.指数函
8、数、对数函数的图象与性质会受底数。的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数。的取值范围.2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.训练1(1)(多选)(2023邯郸模拟)已知函数/)=log2(x+6)+log2(4x),则()A7U)的定义域是(一6,4)Byu)有最大值C.不等式y(x)0,解析(1)由题意可得C解得一60,即7U)的定义域是(一6,4),则A正确；fi.x)=log2(-X22x+24),因为=/2x+24在(一6,1)上单调递增，在(一1,4)上单调递减，又y=log2X在(0,+8)上单调递增，所以兀0在(一6,1)上单调递增，在(一1,4)
9、上单调递减，所以yU)max=(-l)=21g25,则B正确；因为40在(一6,1)上单调递增，在(一1,4)上单调递减，且共-4)=A2)=4,所以不等式於)4的解集是(-6,-4)U(2,4),则C错误；因为“X)在(-1,4)上单调递减，所以D错误.(2次x)和g(x)的图象如图所示：当01时，nia=0,=Sin爹,.a11,.Ma-ma=sn2=ya=y当21时，m=lga,Ma=1,Ma-maz=I-Iga=y0.热点二函数的零点I核心归纳判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断；(2)代数法：求方程yu)=o的实数根；(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=(x
10、)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.考向1函数零点的判断例2(2023赣州模拟)若函数段)=工一六，则方程/一%)一6=0的实根个数为()A.3B.4D.6C.5答案A解析由於）=x=0,x+, 0时的情况).g(x)有且仅有三个零点，则7U)和MX)的图象有且仅有三个交点.当。=0时，显然不成立;当GO时，由图可得，h()=2a2,解得；松；7TT当。0时，由对称性知一V44,四个实根XI,X2,X3,X4（X1X2T3X4）,则Xl+&+工3+/T4的最小值为.答案10解析作出於）的大致图象如图所示.由图可知X1+x2=4,log2(-4)1=7(2)=4,得X=3或20,则5*420.又因为10g2(X3-4)+Iog2(44)=0,所以(X34)(X44)=1,所以13=+4,则制+$4=Ia44)+
