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1、微专题2必要性探路【知识拓展】1 .必要性探路法，是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，或去验证其充分条件，进而解决问题的方法.2 .虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度可以减少分类讨论的类别，降低思维难度.【类型突破】类型一取点探路1X例1(2023烟台模拟节选)已知/U)=ln(0r+l)+k21),若兀r)21n2恒成立，1I4求实数。的取值范围.解必要性：对于/21,7U)21n2恒成立，即In(Or+
2、l)+q1-5220在(1,+8)上恒成立.1X令(x)=ln(or+l)+jTj-In2,所以g(l)=ln(+l)M220,解得充分性：当心1时，x12、g(x)21r-+R-1(x21).则令=Inr-l(rl),所以1),则/?在(1,+8)上单调递增,所以力2(I)=0,所以g(x)20恒成立，综上所述，。的取值范围是1,+).规律方法已知不等式恒成立求参数范围问题，我们可以取定义域内的一个或几个特殊点探路，以缩小参数的取值范围，如取闭区间的端点，指数函数常取0或1,对数函数常取1或e等.训练1已知yU)=0r2-4In(X1),对x2,e+l,於)WI恒成立，求实数。的取值范围.解
3、必要性：因为对x2,e+l,7U)W1恒成立.即r2-41n(-1)10,令=gxl-41n(-1)1,则g(2)=4-10,则充分性：当Z时，(x)=0x2-41n(-1)1x2-41n(-1)1,根据InX215证明略)，在x2,e+l,1I9、(x-2)(x2+x-18)有x2-41n(-1)-1Wp2-40J-1=4(I)0所以g()wo,即yu),故。的取值范围是(一8,类型二极值点探路例2(2023济南模拟)已知函数/)=111(工+1)一加2-1)+1,tz0.(1)当。=1时，求yu)在(0,十8)上的零点个数；(2)若关于X的不等式InG一昌一游2)l-e2(LD一=o,此时
4、无零点.当xl,+8)时，/()=-2e2(LD,当Xl,+8)时，/()单调递减，且，(幻/(1)=5-20,2)=ln3+l-e2=ln-(X1)0恒成立，则In(X-3(不一今一0,X 1-2 - - 3-2 当a0时，令机(1)=111-y)1,xl,Wa)=3当心为时，”(x)v,Tna)单调递减,当lx0,Z(X)单调递增，当a0时,3-2e- 2则0e(l一?20,即1一如0,得2.综上，。的取值范围为0,2,充分性：当0,2时，In-卜习一16zle2(v-1)e(-1)0,当0,2时,e2cv-e(-l)e2u-2e(-1).令n(y)=e2c-r-2e(-1),xl,则n,
5、(x)=2e2tv-2e.当xl时，单调递增，且(今=2e2e=0,故当x(l,号时，w,(x)O,(x)单调递增，n(x)(jJ=e-e=0,xl,4”(x)20.由已知得Q1,In(X；)一0.式成立，.0,2.规律方法1.已知yu)wo(或yu)2o),找遂外的极大值(或极小值)点探路；2.对于/(X)Wga),找yu)的极大值点，g(x)的极小值点探路.训练2已知00,函数4r)=0r2-,g(x)=M尤是否存在实数m使yU)2g(0x)恒成立？若存在，求出实数。的值；若不存在，请说明理由.解必要性：令g(x)=(x)-g(Or)=公2-xInar,x0,则,(x)=2a-.因为9(十
6、)=，又9(x)20，则是Sa)的一个极小值点，则dg)=。，解得Q=L充分性：当Cl=1时,(x)=2x=(2r+l)(工一1)X当Oxl时，d(X)0,9。)单调递增,从而6(x)2矶I)=0,符合题意.综上，可知=l.类型三保号性探路例3已知函数兀O=OdnX一犬，其中R.若7U)在(1,+8)上单调递减，求正数。的取值范围.解必要性：因为於)在(1,+8)上单调递减，所以F(X)=lnx+-5=4(lnx+1-)Wo在(1,+8)内恒成立.令(x)-lnx1i,则g(x)=lnx+1flTWO在(1,+8)内恒成立，因为g(D=0,g,(x)=-(a-)xti2,则gl)W0,即gl,
7、所以KT2工，则(x)=lnx1a-,lnx+1x0,所以/(x)=(lnx+1,)0,则存在。0,当Lr一冰。时，段)0(注意它的逆命题是假命题).训练3(2023武汉质检改编)已知函数y(x)=ln(x+1)x5，若当x1时，r)W加，求实数。的取值范围.X31解必要性：令g(x)=ln(x+l)x一主一加忘。，gx)=R-1x220r,g(x)=-(1)2-2x-2,因为g(0)=0,(0)=0,所以g(0)O,当X=O时，一ln一Hn20,解得OWl.充分性：下面证明OVaWl时，题设不等式恒成立.由evx+1(证明略)易得/x12,只需证明a2-an(-a)-na0.设g(x)=a1
8、xan(x+d)Ina9则0-七)，则g，a)单调递增，令/(x)=0,即(-7=)=0，解得X=54,所以当时，g(x)O,g(x)单调递增,所以g(x)min=年-)=(la2)+(la)lnO,当且仅当a=取等号.所以证得MxHn(x+)-Ina20成立，当且仅当X=O,=l时等号成立.因此(0,1时，不等式e4q111(x+q)-In120恒成立.2.(2023杭州质检)已知函数J(x)=x(nx+3ax+2)-30r+4.(1)若TU)在1,+8)上单调递减，求实数。的取值范围；(2)若r)的最大值为6,求实数a的值.解(1)必要性：由题意知/(x)=InX+6or+3-3W0在时恒
9、成立，因此必有/(l)=3+3W0,即。/一1.充分性：当。W-I时，由不等式InXWX-I(当且仅当x=l时取等号)，有(x)Inx+3(2x1)+3WX13(2X1)+3-5(1X)W0,此时符合题意.综上，可知(-8,-1,(2)由题意得y11)=6.因为火x)W6,所以1为7U)的一个极大值点.又f()=Inx6x33。，因此必有/(1)=0,解得。=一1.当。=一1时，由不等式InXWJr-I(当且仅当X=I时取等号)，有J(x)=x(n-3x2)3x+4x(-13x+2)+3x+4=6-2(-1)26,符合题意.综上，可知。=-1.3.已知函数7U)满足U)=(l)eT-y(0)x
10、+,若yU)2%2+r+Z?,求(+l)Z?的最大值.解对函数於)求导，得/a)=/。把1大0)+无由题意知/(l)=f(l)-,O)+l,则m)=1.又人0)=/(1把一1,因此/(l)=e.U)=e-X+%2./(x)p2+xZ,即ex-(a+)-bOt令g(x)er-(tzl)-b.当+lO时，只需考虑比0情况.由题意知“g(，20是g(x)20的必要条件.由g(f)eo,解得加由均值不等式有/2gi+b22ygi力，即(+l)Z(当a+l=2b时取等号).存在,b满足(o+l)b=,总有/(x)252+t+b,a=ye-ltb=2此时g(x)=ex-&彳一手=/(ex义一x一习#/一+
11、1xy=0,当x=g时取等号.假设a+1=0符合题意，此时3+1)0=0.假设+l0,此时g(一%1-”0,不符合题意.e综上，m+i)z?的最大值为了二、创新拓展练4.(2023石家庄调研)已知函数危)=-ln(x+l),g(x)=ex-.(1)求加0的单调区间；若g(x)2U)对任意的x0,+8)恒成立，求实数A的取值范围.1Y解(1小)=1一干=131)，令Fa)=0,得X=0,当x(-,0)时，/(x)0,九0单调递增.所以7U)的单调递减区间为(一1,0),单调递增区间为(0,+8).(2)由题意得ex-1ln(x+1)在x0,十8)上恒成立，令h(x)=ex-1-ln(xl),则z(x)20在x0,+8)上恒成立，f()=ex-l-l-j-j则(0)=0,力(此=。_(j)2,Aw(O)=I-A:,若/T(O)=I-KO,即上1时，存在x(0,+8)使得(0,Xo)时,h,(x)09则在(0,刈)上1(X)单调递减，此时(x)v(0)=0,则力(功在(0,XO)上单调递减，且X(0,XO)使
