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1、微专题1切割线放缩【知识拓展】函数的凸性与切割线放缩：(1)下凸函数：如图1,对于函数/U),若在其图象上任取两点AaI,U),8(x2,五股)，除端点外，线段AB始终在函数yu)的图象的上方，在yu)的图象上任取点CaO,yuo),函数yu)在点C处的切线y=)-o)+yuo)除切点外，始终在五幻图象的下方，我们称/U)为下凸函数，满足广a)，。的函数yu)为下凸函数.对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，7(x)2/(Xo)(XX)+yU),当Xe(X1,X2)时，ZVf(Xl)一f(X2)lKX)W(-)+%).(2)上凸函数：如图2,对于函数7U),若在其图象上任取两点A(Xl,U),8
2、(x2,yU2),除端点外，线段AB始终在函数yu)的图象的下方，在yu)的图象上任取点CaO,Uo),函数yu)在点C处的切线y=)(-o)+yuo)除切点外，始终在五幻图象的上方，我们称yu)为上凸函数，满足广()wo的函数yu)为上凸函数.对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，fix)(xo)(-xo)+/(xo),当Xea1,/2)时，ZVf(Xl)一于(X2).ZV犬X)J-2(-)+%).类型一切线放缩证明不等式例1(2023武汉质检)已知函数yU)=eJf(1)求曲线/U)在x=l处的切线方程；Ox+(2e)Y-1(2)求证：当x0时，lnx+1.(1)解由题设得Ia)=-2x,.
3、(f(1)=el-2l=e-2,I/(1)=e1,所以曲线段)在x=l处的切线方程为厂川)=/(1)(1)，即y=(e-2)x1.6xH(2e)X1(2)证明要证当x0时，lnx+1,即证er(l-e)-n-10,因为月O)=1,且曲线HX)在X=I处的切线方程为y=(e-2M+l.故可猜测：当心0且XWl时，段)的图象恒在切线y=(e-2)x+l的上方,下面证明：当x0时，t(x)(e-2)x1,设(x)=TU)(e2)Xl(xO),则x)=ex2-(e2),令F(x)=x),Fx)=CA2,当了(0,皿2)时，F(x)0,(In2)0,Oln20;当XEa0,1),(x)0).设r(x)=
4、-InXl(xO),t,(x)=1当x(0,1)时,f(x)O,x)单调递增，所以Za)min=/(I)=O,从而有f(x)=-Inx120即x21nx+l(当且仅当X=I时取等号).“i、e+(2e)x1、所以NXmInx+1,e1H-(26)X1即J21nx+l(当且仅当x=l时等号成立).规律方法切线放缩证明不等式的原理：yu)/切与g(x)或氏v)w/切Wga).训练1已知於)=ex+cos2x+2f+-2.求Tu)在X=O处的切线；(2)求证：Xx)ln(2r+1).(1)解由题意知Fa)=e-2Sinzr+4x+l,则/(0)=2,而大O)=0,所以7U)在X=O处的切线方程为y0
5、=2(-0),即y=2x.(2)证明因为式0)=0,且曲线7U)在x=0处的切线方程为y=2x,故可猜测，兀0的图象恒在切线y=2x的上方，先证7(x)22x,令(x)=J(x)2x=ex+cos2x2x2-2,贝Ug(x)=eA2Sin2x4-1,g(x)=ev-4COS2x40恒成立，.gr)单调递增，又g，(O)=0,易知g)2g(0)=0,JU)22x(当且仅当X=O时等号成立).再证2xln(2x1),令(x)=2-ln(2x+I)(X一当)，24xh，(X)=22x+=2x+V令Ia)=0,解得X=0.当QO时，,(x)O,则力(劝在(0,+8)上单调递增；当一;v时，,(x)O,
6、则/3在(一/0)上单调递减，所以(%)2/Z(O)=O即2x21n(2x+l)(当且仅当X=O时等号成立)，综上yU)21n(2x+l)(当且仅当X=O时等号成立).类型二切线放缩求参数例2若。1-2XlnL丘一120对任意实数QO都成立，求Z的取值范围.Qx解由e“一Zdn”一日一120,得ZW-21nx9.XeA11ev(%1)2x设(x)=-21nx,(x)=p，令(x)=0,得l+ev(-l)-2x=0,/.ev-2-=0,X-I记3(x)=eJ2-TTP则Ql时，夕单调递增，工-1时，9(x)0.设其根为刈，则刈(1,2),所以(x)的极值点在x=l附近.Qx1因此考虑在x=l处进
7、行切线放缩，而y=一尸在x=l处的切线为y=x+e-2,所以有xe-2,即(x)2x+e-22In3.、2设力(X)=X21nx+e-2,hx)=i-,可得a(x)在x=2处取最小值，(2)=e-21n2,即e-21n2.的取值范围为(-8,e-21n2.规律方法利用切线放缩求参数范围：可先分离参数，然后找到所设函数的极值点范围后运用切线放缩.训练2已知函数yu)=e一弓一I,(1)若直线y=x+为y(x)的切线，求。的值；(2)若对x(0,+8),恒有人功2版，求b的取值范围.解(1)设直线=x+与曲线r)相切于点(xo,),因为了(X)=e-x,则f(xo)=exoxo=1,解得xo=O,
8、则yo=5)=O,即0+=0,解得=0.(2)因为五0)=0,且曲线应)在X=O处的切线方程为y=x.故可猜测/U)的图象恒在切线y=的上方,先证当x(0,+8)时，於)2,即证当x(0,+8)时，ev-y-l0,设(x)=ev-yXl(xO),则z(x)=e-X1,设P(x)=6(X)=ev-1,则Pa)=er-l,因为Pa)o在(0,+8)上恒成立，所以1(X)在(0,+8)上单调递增，又因为(0)=0,所以当x(0,+8)时，Q0,所以人(功在(0,+8)上单调递增，所以(x)(O)=O,所以ev-yX10,即ev-y-lx,由此可得只需X2法即可.解得力WL类型三切线夹的应用例3(20
9、23南京调研)已知函数/)=。-1)Ina+1),曲线)=/5)在点(1,0)处的切线方程为y=履+0.(1)求人,b的值;(2)证明：f(x)k-b若函数g(X)=y(X)+7(7R)有两个零点XI,X2,证明：1-X21tn)(1)解函数yu)的定义域为(一1,+8),-/(x)=ln(x+l)-7,/(I)=In2.所以切线方程为y=ln2(X-1),即Z=In2,b=-n2.(2)证明设h(x)=fi,x)-kx-b=-l)ln(x1)xln2ln2,2令Fa)=万(x)=In。+1)彳j+I-In2,12则F，(X)=7+(x+l)20,所以Fa)单调递增，即厅(X)单调递增.又1(
10、I)=In21+1In2=0,所以当X(-1,1)时,h,(x)0,函数MX)单调递增，所以(x)min=(1)=0即(X)20,所以)xln2In2.(3)证明g(x)=/(X)+a(wR)的两个零点Xi,X2,即为7U)=一的两根，不妨设X1X2,由题知，曲线y=(x)在(1,0)处的切线方程为y=xln2-ln2,令(x)=xn2In2,即e(x)+m=0,即(Q=-m的根为X2,则M=I一备，由(2)知，fix2)(x2)9.(x2,)=fix2)29(x2),.9(x)单调递增，*X2,X2.设曲线y=U)在(0,0)处的切线方程为y=r(x),了(0)=-1，。)=一羽设方程f(x
11、)+m=0,即x)=一根的根为“，则Xl=，小令TU)=TU)一心)，同理由(2)可得T(x)O,即y(x)2r(x),加)23),:t(xf)=J(x)t(x),又r(x)单调递减，.xiy11,.X2-Xl|X2-X1X2,-Xlrin2规律方法1.一般地，给出函数的表达式，证明关于函数零点差的不等式(无等号)，可以考虑切线夹技巧来解决.2.切线夹的本质是把两零点利用切线的零点来放缩不等式.训练3已知函数yU)=+l)(ex-1),若方程y(x)=7有两个实根x1,x2,且x1x2,证明：X2-xlm (1 -2e)1 e证明如图，设40在(一1,0)处的切线方程为y=力(X),由1(x)
12、=0+2)-1,易得，(x)=(-lJ(x+l),令F(x)=,(x)-/?(x),即Fa)=+1)(1)(；1卜+1),F(x)=(x+2)-,当XW2时，F,(x)=(x2)ev-2时，则Fa)=+2)ex-1单调递增，又F(-1)=O,e所以当XV-I时，Fa)V0,当心一1时，F(x)0,所以函数Fa)在区间(一8,一1)上单调递减，在区间(一1,+8)上单调递增,故尸(x)2尸(一1)=0,/i)2(X1),we设h(x)=m的根为x,则x=-l+-,且h(x,)=J(x)h(x)t又函数力(X)单调递减，故五Wj11,又设兀O在(0,0)处的切线方程为夕(X),易得(x)X.令(x
13、)=(x+l)(ev-1)X,/(x)=(x+2)eA2,当XW2时，gf(x)=(x+2)eA2W2一2时，gx)=+2)e*-2单调递增，又g0)=0,所以当x0时，g(x)0时，g(x)O,所以函数g(x)在区间(一8,0)上单调递减，在区间(0,+8)上单调递增,故g(x)2g(0)=0,即+l)(el)2x,故)2夕(工)，则J(X2)(X2)9设3(X)=W的根为由，则X2=7M,且9(X2)=(X2)29(X2),又函数9(x)单调递增，故X22l2,r,(1Iz7ie1w(12e)又x,x,X2-XiX2f-XIr=W-1-1十二I=1匚-类型四割线放缩及割线夹例4证明：当OVXVI时，MeSinX-Jdna+l)e
